Состояние излучения Зоммерфельда

Арнольд Зоммерфельд определил условие излучения для скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Гельмгольца, как

«Источники должны быть источниками, а не стоками энергии. Энергия, которая излучается от источников, должна рассеиваться в бесконечность; никакая энергия не может излучаться из бесконечности в ... поле». ^[1]

Математически рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца

${\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) u = -f {\ mbox {in}} \ mathbb {R} ^ {n}}$

где - размерность пространства, - заданная функция с компактным носителем, представляющая ограниченный источник энергии, и - константа, называемая волновым числом . Решение этого уравнения называется излучающим, если оно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда${\ Displaystyle п = 2,3}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ lim _ {| x | \ to \ infty} | x | ^ {\ frac {n-1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial | x |}} - ik \ right) u (x) = 0}$

равномерно по всем направлениям

${\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ frac {x} {| x |}}}$

(выше, является мнимой единицей и является евклидова нормы ). Здесь предполагается, что время гармоники поля Если время гармоники поля вместо следует заменить с в состоянии излучения Зоммерфельда.${\ displaystyle i}$${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle e ^ {- я \ omega t} u.}$${\ displaystyle e ^ {я \ omega t} u,}$${\ displaystyle -i}$${\ displaystyle + i}$

Условие излучения Зоммерфельда используется для однозначного решения уравнения Гельмгольца. Например, рассмотрим проблему излучения точечного источника в трех измерениях, поэтому функция в уравнении Гельмгольца - это где - дельта-функция Дирака . Эта задача имеет бесконечное количество решений, например, любая функция вида ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х) = \ дельта (х-х_ {0}),}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,}$

где - постоянная, а ${\displaystyle c}$

${\displaystyle u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.}$

Из всех этих решений только удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда и соответствует полю, излучаемому из других решений. Например, это можно интерпретировать как энергию, исходящую из бесконечности и опускающуюся на${\displaystyle u_{+}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle u_{-}}$${\displaystyle x_{0}.}$

Ссылки [ править ]

• Мартин, П. А (2006). Многократное рассеяние: взаимодействие гармонических волн с N препятствиями . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-86554-9.
• "Восемьдесят лет условия Зоммерфельда радиации", Стивен Х. Schot, Historia Mathematica 19 , # 4 (ноябрь 1992), стр 385-401,. Дои : 10.1016 / 0315-0860 (92) 90004-U .

Внешние ссылки [ править ]

• А.Г. Свешников (2001) [1994], "Радиационные условия" , Математическая энциклопедия , EMS Press