В теории множеств , то преемник из порядкового числа альфа является наименьшим порядковым большее число , чем альфа . Порядковый номер, являющийся преемником, называется порядковым номером преемника .
Свойства [ править ]
Каждый ординал, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельным порядковым номером . [1]
В модели фон Неймана [ править ]
Используя порядковые числа фон Неймана (стандартная модель порядковых чисел, используемая в теории множеств), преемник S ( α ) порядкового числа α задается формулой [1]
Поскольку порядок порядковых чисел задается формулой α < β тогда и только тогда, когда α ∈ β , сразу видно, что между α и S ( α ) нет порядкового числа , и также ясно, что α < S ( α ) .
Порядковое сложение [ править ]
Операцию преемника можно использовать для строгого определения порядкового сложения с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:
а для предельного ординала λ
В частности, S ( α ) = α + 1 . Умножение и возведение в степень определяются аналогично.
Топология [ править ]
Точки-последователи и ноль являются изолированными точками класса порядковых чисел по отношению к порядковой топологии . [2]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Кэмерон, Питер Дж. (1999), Множества, логика и категории , Серия Springer по математике для студентов, Springer, стр. 46, ISBN 9781852330569.
- ^ Девлин, Кейт (1993), «Радость множеств: основы современной теории множеств» , « Тексты для студентов по математике» , Springer, Exercise 3C, p. 100, ISBN 9780387940946.
