Эта статья
требует дополнительных ссылок для проверки .
Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники: «Правило сумм в квантовой механике» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )
В квантовой механике , A правило сумм представляет собой формулу для переходов между энергетическими уровнями, в которых сумма сильных переходных выражается в простой форме. Правила сумм используются для описания свойств многих физических систем, включая твердые тела, атомы, атомные ядра и ядерные составляющие, такие как протоны и нейтроны.
Правила сумм основаны на общих принципах и полезны в ситуациях, когда поведение отдельных уровней энергии слишком сложно для описания точной квантово-механической теорией. В общем, правила сумм выводятся с помощью квантово-механической алгебры Гейзенберга для построения операторных равенств, которые затем применяются к частицам или энергетическим уровням системы.
Вывод правил сумм [1] [ править ] Предположим, что гамильтониан имеет полный набор собственных функций с собственными значениями : ЧАС ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}} | п ⟩ {\ displaystyle | п \ rangle} E п {\ displaystyle E_ {n}}
ЧАС ^ | п ⟩ знак равно E п | п ⟩ . {\ displaystyle {\ hat {H}} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.} Для эрмитова оператора мы определяем повторяющийся коммутатор итеративно следующим образом: А ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}} C ^ ( k ) {\ displaystyle {\ hat {C}} ^ {(k)}}
C ^ ( 0 ) ≡ А ^ C ^ ( 1 ) ≡ [ ЧАС ^ , А ^ ] знак равно ЧАС ^ А ^ - А ^ ЧАС ^ C ^ ( k ) ≡ [ ЧАС ^ , C ^ ( k - 1 ) ] , k знак равно 1 , 2 , … {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}} Оператор эрмитов, поскольку
определяется как эрмитов. Оператор антиэрмитский: C ^ ( 0 ) {\displaystyle {\hat {C}}^{(0)}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} C ^ ( 1 ) {\displaystyle {\hat {C}}^{(1)}}
( C ^ ( 1 ) ) † = ( H ^ A ^ ) † − ( A ^ H ^ ) † = A ^ H ^ − H ^ A ^ = − C ^ ( 1 ) . {\displaystyle \left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.} По индукции находим:
( C ^ ( k ) ) † = ( − 1 ) k C ^ ( k ) {\displaystyle \left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}} а также
⟨ m | C ^ ( k ) | n ⟩ = ( E m − E n ) k ⟨ m | A ^ | n ⟩ . {\displaystyle \langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .} Для эрмитова оператора имеем
| ⟨ m | A ^ | n ⟩ | 2 = ⟨ m | A ^ | n ⟩ ⟨ m | A ^ | n ⟩ ∗ = ⟨ m | A ^ | n ⟩ ⟨ n | A ^ | m ⟩ . {\displaystyle |\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .} Используя это соотношение, получаем:
⟨ m | [ A ^ , C ^ ( k ) ] | m ⟩ = ⟨ m | A ^ C ^ ( k ) | m ⟩ − ⟨ m | C ^ ( k ) A ^ | m ⟩ = ∑ n ⟨ m | A ^ | n ⟩ ⟨ n | C ^ ( k ) | m ⟩ − ⟨ m | C ^ ( k ) | n ⟩ ⟨ n | A ^ | m ⟩ = ∑ n ⟨ m | A ^ | n ⟩ ⟨ n | A ^ | m ⟩ ( E n − E m ) k − ( E m − E n ) k ⟨ m | A ^ | n ⟩ ⟨ n | A ^ | m ⟩ = ∑ n ( 1 − ( − 1 ) k ) ( E n − E m ) k | ⟨ m | A ^ | n ⟩ | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}} Результат можно записать как
⟨ m | [ A ^ , C ^ ( k ) ] | m ⟩ = { 0 , if k is even 2 ∑ n ( E n − E m ) k | ⟨ m | A ^ | n ⟩ | 2 , if k is odd . {\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}k{\mbox{ is even}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{if }}k{\mbox{ is odd}}.\end{cases}}} За это дает: k = 1 {\displaystyle k=1}
⟨ m | [ A ^ , [ H ^ , A ^ ] ] | m ⟩ = 2 ∑ n ( E n − E m ) | ⟨ m | A ^ | n ⟩ | 2 . {\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.} См. Силу осциллятора .
![\ begin {align} \ hat {C} ^ {(0)} & \ Equiv \ hat {A} \\ \ hat {C} ^ {(1)} & \ Equiv [\ hat {H}, \ hat { A}] = \ hat {H} \ hat {A} - \ hat {A} \ hat {H} \\ \ hat {C} ^ {(k)} & \ Equiv [\ hat {H}, \ hat {C} ^ {(k-1)}], \ \ \ k = 1,2, \ ldots \ end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e38c4e3192a59e4492e20010700727a6e2b1f18)
![\ begin {align} \ langle m | [\ hat {A}, \ hat {C} ^ {(k)}] | m \ rangle & = \ langle m | \ hat {A} \ hat {C} ^ {(k)} | m \ rangle - \ langle m | \ hat {C} ^ {(k)} \ hat {A} | m \ rangle \\ & = \ sum_n \ langle m | \ hat {A} | n \ rangle \ langle n | \ hat {C} ^ {(k)} | m \ rangle - \ langle m | \ hat {C} ^ {(k)} | n \ rangle \ langle n | \ hat {A} | m \ rangle \\ & = \ sum_n \ langle m | \ hat {A} | n \ rangle \ langle n | \ hat {A} | m \ rangle (E_n-E_m) ^ k - (E_m-E_n) ^ k \ langle m | \ hat {A} | n \ rangle \ langle n | \ hat {A} | m \ rangle \\ & = \ sum_n (1 - (- 1) ^ k) (E_n-E_m) ^ k | \ langle m | \ hat {A} | п \ рангл | ^ 2. \ end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0856da3cfd137892a729122ae07b0d76030fd99)
![\ langle m | [\ hat {A}, \ hat {C} ^ {(k)}] | m \ rangle = \ begin {cases} 0, & \ mbox {if} k \ mbox {четно} \\ 2 \ sum_n (E_n-E_m) ^ k | \ langle m | \ hat {A} | n \ rangle | ^ 2, & \ mbox {if} k \ mbox {нечетное}. \ end {case}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9170c4d8b9085011605cca49e3810a2e64e4a525)
![\ langle m | [\ hat {A}, [\ hat {H}, \ hat {A}]] | m \ rangle = 2 \ sum_n (E_n-E_m) | \ langle m | \ hat {A} | п \ рангл | ^ 2.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36320be103235cab1fcbb667f753d87d88f9507c)
