В математике суперкоммутативная (ассоциативная) алгебра — это супералгебра (т. е. Z2 - градуированная алгебра ), такая, что для любых двух однородных элементов x , y имеем [1]
где | х | обозначает класс элемента и равен 0 или 1 (по Z 2 ) в зависимости от того, является ли класс четным или нечетным соответственно.
всегда исчезает. Алгебраические структуры, которые суперкоммутативны в указанном выше смысле, иногда называют косокоммутативными ассоциативными алгебрами , чтобы подчеркнуть антикоммутативность, или, чтобы подчеркнуть градуировку, градуированными коммутативными или, если понимается суперкоммутативность, просто коммутативными .
Любая коммутативная алгебра является суперкоммутативной алгеброй, если задана тривиальная градация (т. е. все элементы четны). Алгебры Грассмана (также известные как внешние алгебры ) являются наиболее распространенными примерами нетривиальных суперкоммутативных алгебр. Суперцентр любой супералгебры — это набор элементов, которые суперкоммутируют со всеми элементами, и это суперкоммутативная алгебра.
Четная подалгебра суперкоммутативной алгебры всегда является коммутативной алгеброй . То есть даже элементы всегда коммутируют. С другой стороны, нечетные элементы всегда антикоммутируют. То есть,
Таким образом, коммутативная супералгебра (с 2 обратимыми и одной компонентой ненулевой степени) всегда содержит нильпотентные элементы.