В комбинаторной математике блочная схема представляет собой структуру инцидентности, состоящую из набора вместе с семейством подмножеств , известных как блоки , выбранных таким образом, что частота элементов удовлетворяет определенным условиям, заставляющим набор блоков проявлять симметрию (баланс). Они находят применение во многих областях, включая проектирование экспериментов , конечную геометрию , физическую химию , тестирование программного обеспечения , криптографию и алгебраическую геометрию .
Без дополнительных уточнений термин « блочная схема» обычно относится к сбалансированной неполной блочной схеме ( BIBD ), в частности (а также синонимично) к 2-схеме, которая исторически была наиболее интенсивно изучаемым типом из-за ее применения в планировании экспериментов . [1] [2] Его обобщение известно как t-схема .
План называется сбалансированным (до t ), если все t -подмножества исходного набора встречаются в равном количестве (т . е. λ ) блоков. Когда t не указано, обычно можно предположить, что оно равно 2, что означает, что каждая пара элементов находится в одном и том же количестве блоков, и схема попарно сбалансирована . Для t = 1 каждый элемент встречается в одном и том же количестве блоков ( номер репродукции , обозначаемый r ), и говорят, что схема является регулярной . Любой план, сбалансированный до t , также сбалансирован во всех меньших значениях t .(правда, с разными значениями λ ), так, например, попарно сбалансированный ( t = 2) план также является регулярным ( t = 1). Когда требование балансировки не выполняется, проект все еще может быть частично сбалансирован , если t - подмножества могут быть разделены на n классов, каждый со своим собственным (различным) значением λ . Для t = 2 они известны как схемы PBIBD( n ) , классы которых образуют схему ассоциации .
О проектах обычно говорят (или предполагают), что они неполные , что означает, что ни один блок не содержит всех элементов набора, что исключает тривиальный дизайн.
Блочный дизайн, в котором все блоки имеют одинаковый размер (обычно обозначаемый k ), называется равномерным или правильным . Все дизайны, обсуждаемые в этой статье, унифицированы. Также изучались блочные конструкции, которые не обязательно однородны; при t = 2 они известны в литературе под общим названием попарно сбалансированных схем (ПСД).
Блочные конструкции могут иметь или не иметь повторяющиеся блоки. Проекты без повторяющихся блоков называются простыми [3] , и в этом случае «семейство» блоков представляет собой набор , а не мультимножество .