В математике , Тэйт двойственности или Пуату-Тэйт двойственности является теорема двойственности для Галуа когомологий групп модулей над группой Галуа в качестве поля алгебраических чисел или локального поля , введенный Джоном Tate ( тысяча девятьсот шестьдесят две ) и Жорж Пуату ( одна тысяча девятьсот шестьдесят семь ).
Локальная двойственность Тейта
Для p -адического локального поля, локальная двойственность Тейта утверждает, что существует идеальное спаривание конечных групп
где является конечной групповой схемой и его двойной . Для локального поля характеристики, утверждение аналогично, за исключением того, что пара принимает значения в . [1] Утверждение справедливо и для архимедовых полей, хотя определение групп когомологий в этом случае выглядит несколько иначе.
Глобальная двойственность Тейт
Для конечной групповой схемы над глобальным полем , глобальная двойственность Тейта связывает когомологии с этим из используя построенные выше локальные пары. Это делается через карты локализации.
где варьируется во всех местах , и где обозначает ограниченное произведение относительно неразветвленных групп когомологий. Суммирование локальных пар дает каноническое идеальное сочетание
Одна часть дуальности Пуату-Тейта утверждает, что при этом соединении образ имеет аннигилятор, равный образу для .
Карта имеет конечное ядро для всех , а Тейт также строит каноническое совершенное спаривание
Эти двойственности часто представлены в виде точной последовательности из девяти членов.
Здесь звездочка обозначает двойственную по Понтрягину группу данной локально компактной абелевой группы.
Все эти утверждения были представлены Тейт в более общей форме в зависимости от набора мест. из , причем приведенные выше утверждения являются формой его теорем для случая, когда содержит все места . Более общий результат см., Например, в Neukirch, Schmidt & Wingberg (2000 , теорема 8.4.4).
Двойственность Пуату – Тейта
Среди других утверждений двойственность Пуату – Тейта устанавливает идеальное спаривание между некоторыми группами Шафаревича . Учитывая глобальное поле, множество S простых чисел и максимальное расширениекоторый не разветвляется вне S , группы Шафаревича захватывают, в широком смысле, те элементы в когомологияхкоторые обращаются в нуль в когомологиях Галуа локальных полей , относящихся к простым числам в S . [2]
Расширение случая, когда кольцо S -целых чисел заменяется регулярной схемой конечного типа над был показан Geisser & Schmidt (2017) .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 7.2.6)
- ^ См. Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 8.6.8) для точного утверждения.
- Гейссер, Томас Х .; Шмидт, Александр (2018), «Двойственность Пуату-Тейт для арифметических схем», Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode : 2017arXiv170906913G , doi : 10.1112 / S0010437X18007340
- Хаберланд, Клаус (1978), Когомологии Галуа полей алгебраических чисел , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , MR 0519872
- Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Springer, ISBN 3-540-66671-0, MR 1737196
- Пуату, Жорж (1967), "Глобальные права на модули конечных", Cohomologie galoisienne des modules finis , Séminaire de l'Institut de Mathématiques de Lille, sous la direction de G. Poitou. Travaux et Recherches Mathématiques, 13 , Париж: Dunod, стр. 255–277, MR 0219591
- Тейт, Джон (1963), "Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями" , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, стр. 288–295, MR 0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.