Тавтологическое кольцо

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В алгебраической геометрии , то тавтологическое кольцо является подкольцом Chow кольца из пространства модулей кривых , генерируемых тавтологических классами. Это классы, полученные из 1 путем прямого продвижения по различным морфизмам, описанным ниже. Тавтологическое кольцо когомологий есть образ тавтологического кольца при отображении цикла (от Chow кольца к кольцу когомологий).

Определение [ править ]

Пусть - набор модулей устойчивых отмеченных кривых , таких что ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {г, п}}$ ${\ Displaystyle (С; x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

C - комплексная кривая арифметического рода g , единственными особенностями которой являются узлы,

на п точки х ₁ , ..., х _п являются различными гладкие точки C ,

отмеченная кривая устойчива, а именно ее группа автоморфизмов (оставляющая отмеченные точки инвариантными) конечна.

Последнее условие требует, другими словами, ( g , n ) не входит в число (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). Стек тогда имеет размер . Помимо перестановок отмеченных точек, следующие морфизмы между этими стеками модулей играют важную роль в определении тавтологических классов: ${\ displaystyle 2g-2 + n> 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {г, п}}$ ${\ displaystyle 3g-3 + n}$

Забывчивые карты, которые действуют, удаляя заданную точку x _k из набора отмеченных точек, а затем повторно стабилизируя отмеченную кривую, если она больше не стабильна ^[^{требуется пояснение}^] . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} \ to {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n-1}}$

Склеивание карт, которые идентифицируют k-ю отмеченную точку кривой с l-й отмеченной точкой другой. Другой набор карт склейки определяет k -й и l-й отмеченные точки, таким образом увеличивая род, создавая замкнутый цикл. ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}$ ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}$

В тавтологические кольца одновременно определяется как наименьшее подколец колец Chow закрыты под забывчивых от прямого образа и склейки карт. ^[1] $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$

Тавтологическое кольцо когомологий есть образ при отображении цикла. По состоянию на 2016 год неизвестно, изоморфны ли тавтологические и тавтологические кольца когомологий. $RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$

Генераторная установка [ править ]

Ибо мы определяем класс следующим образом. Пусть будет прямая линия 1 вдоль карты склейки, которая отождествляет отмеченную точку x _k первой кривой с одной из трех отмеченных точек y _i на сфере (последний выбор не важен из-за автоморфизмов). Для определенности упорядочим полученные точки как x ₁ , ..., x _k₋₁ , y ₁ , y ₂ , x _k₊₁ , ..., x _n . Тогда определяется как движение вперед по забывчивой карте, которая забывает точку $1\leq k\leq n$ $\psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ $\delta _{k}$ ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}$ $\psi _{k}$ $-\delta _{k}^{2}$ у ₂ . Этот класс совпадает с первым классом Черна некоторого линейного расслоения. ^[1]

Ибо мы также определяем движение вперед по карте забывчивости, которая забывает k -ю точку. Это не зависит от k (просто перестановка точек). $i\geq 1$ $\kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ $(\psi _{k})^{i+1}$ ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$

Теорема. аддитивно порождается pushforwards вдоль (любое количество) склейка карт мономах и классов.

R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})

\psi

\kappa

Эти проталкивания одночленов (далее называемые базовыми классами) не образуют основы. Набор отношений полностью не известен.

Теорема. Тавтологические кольца инвариантны относительно откатов по склейке и забывчивости. Существуют универсальные комбинаторные формулы, выражающие продвижение вперед, откат и произведение базовых классов как линейные комбинации базовых классов.

Гипотезы Фабера [ править ]

Тавтологическое кольцо на пространстве модулей гладких n -конечных кривых рода g просто состоит из ограничений классов в . Мы опускаем n, когда он равен нулю (когда нет отмеченной точки). $R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})$ $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$

В случае кривых без отмеченных точек, предположил Мамфорд, а Мэдсен и Вейсс доказали, что для любого отображение является изоморфизмом степени d при достаточно большом g . В этом случае все классы тавтологичны. $n=0$ $d>0$ $\mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})$

Гипотеза (Фабер). (1) Тавтологические кольца большой степени обращаются в нуль: для (2) и существует явная комбинаторная формула для этого изоморфизма. (3) Произведение (происходящее из кольца Чоу) классов определяет идеальную пару

R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0

d>g-2.

R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q}

R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .

Хотя тривиально исчезает для из-за размерности , предполагаемая оценка намного ниже. Гипотеза полностью определит структуру кольца: многочлен от группы когомологической степени d обращается в нуль тогда и только тогда, когда его спаривание со всеми многочленами когомологической степени равно нулю. $R^{d}({\mathcal {M}}_{g})$ $d>3g-3$ ${\mathcal {M}}_{g}$ $\kappa _{j}$ $g-d-2$

Части (1) и (2) гипотезы доказаны. Часть (3), также называемая гипотезой Горенштейна, только проверялась . Для рода и выше несколько методов построения отношений между классами находят один и тот же набор отношений, что предполагает, что размеры и различны. Если набор соотношений, найденных этими методами, полный, то гипотеза Горенштейна неверна. Кроме того , оригинальный несистематический поиск Фабэра компьютер на основе классических карт между векторных расслоений над , то d -м волокно мощность универсальной кривой , следующие методы были использованы для нахождения отношений: $g<24$ $g=24$ $\kappa$ $R^{d}({\mathcal {M}}_{g})$ $R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})$ ${\mathcal {C}}_{g}^{d}$ ${\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}$

Виртуальные классы пространства модулей стабильных частных (над ) Пандхарипанде и Пиксон. ^[2] $\mathbb {P} ^{1}$

Виттен г -spin класс и классификация Гивенталь-Телеман когомологических теорий поля, используемый Pandharipande, Pixton, Звонкин. ^[3]

Геометрия универсального якобиана над Инь. ${\mathcal {M}}_{g,1}$

Степени тэта-делителя на универсальном абелевом многообразии по Грушевскому и Захарову. ^[4]

Доказано, что эти четыре метода дают одинаковый набор отношений.

Аналогичные гипотезы были сформулированы для пространств модулей стабильных кривых и стабильных кривых компактного типа. Однако Петерсен-Томмази ^[5] доказал это и не подчиняется (аналогичной) гипотезе Горенштейна. С другой стороны, Тавакол ^[6] доказал, что для рода 2 пространство модулей устойчивых кривых с рациональными хвостами удовлетворяет условию Горенштейна для любого n . ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{c.t.}}$ $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})$ $R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{c.t.}})$ ${\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{r.t.}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Faber, C .; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101,5489 [ math.AG ].
^ Pandharipande, R .; Пиксон, А. (2013). «Соотношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].
^ Pandharipande, R .; Pixton, A .; Звонкин, Д. (2016). «Тавтологические отношения через структуры r-спина». arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].
↑ Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелевого многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал герцога . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . DOI : 10.1215 / 00127094-26444575 .
^ Петерсен, Дэн; Томмази, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $ \ mathcal {\ bar M} _ {2, n} $». Inventiones mathematicae . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Bibcode : 2014InMat.196..139P . DOI : 10.1007 / s00222-013-0466-Z .
^ Tavakol, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_ {2, n} ^ rt». arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].

Вакил, Рави (2003), "Пространство модулей кривых и его тавтологическое кольцо" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (6): 647–658, MR 1988577
Грабер, Том; Вакил, Рави (2001), «О тавтологическом кольце » M ¯ g , n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} (PDF) , Турецкий математический журнал , 25 (1): 237–243, MR 1829089

[auto-1] Faber, C .; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101,5489 [ math.AG ].

[2] Pandharipande, R .; Пиксон, А. (2013). «Соотношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].

[3] Pandharipande, R .; Pixton, A .; Звонкин, Д. (2016). «Тавтологические отношения через структуры r-спина». arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].

[4] Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелевого многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал герцога . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . DOI : 10.1215 / 00127094-26444575 .

[5] Петерсен, Дэн; Томмази, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $ \ mathcal {\ bar M} _ {2, n} $». Inventiones mathematicae . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Bibcode : 2014InMat.196..139P . DOI : 10.1007 / s00222-013-0466-Z .

[6] Tavakol, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_ {2, n} ^ rt». arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].

[1]