Формула ELSV

В математике формула ELSV , названная в честь четырех ее авторов Торстена Экедала , Сергея Ландо , Майкла Шапиро , Алека Вайнштейна , представляет собой равенство между числом Гурвица (с учетом разветвленных покрытий сферы) и интегралом по пространству модулей стабильных кривых .

Некоторые фундаментальные результаты в теории пересечений пространств модулей кривых могут быть получены из формулы ELSV, включая гипотезу Виттена , ограничения Вирасоро и -гипотезу .${\ displaystyle \ lambda _ {g}}$

Он обобщается формулой Гопакумара – Мариньо – Вафа .

Формула [ править ]

Определите число Гурвица

${\ displaystyle h_ {g; k_ {1}, \ dots, k_ {n}}}$

как количество разветвленных покрытий комплексной проективной прямой ( сферы Римана , которые представляют собой связные кривые рода g , с n пронумерованными прообразами бесконечно удаленной точки, имеющими кратности, и m более простыми точками ветвления . Здесь, если покрытие имеет нетривиальную группу автоморфизмов G следует считать с весом .${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} (\ mathbb {C}))}$${\ displaystyle k_ {1}, \ dots, k_ {n}}$${\ displaystyle 1 / | G |}$

Затем формула ELSV выглядит так:

${\ displaystyle h_ {g; k_ {1}, \ dots, k_ {n}} = {\ dfrac {m!} {\ # {\ text {Aut}} (k_ {1}, \ ldots, k_ {n })}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {k_ {i} ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}} \ int _ {{\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}} {\ frac {c (E ^ {*})} {(1-k_ {1} \ psi _ {1}) \ cdots (1-k_ {n} \ psi _ {n})}}.}$

Обозначения здесь следующие:

• ${\displaystyle g\geq 0}$ является целым неотрицательным числом;
• ${\displaystyle n\geq 1}$ положительное целое число;
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ положительные целые числа;
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$- количество автоморфизмов n -набора${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$это пространство модулей из стабильных кривых рода г с п отмеченных точек;
• E - векторное расслоение Ходжа, а c (E *) - полный класс Черна его двойственного векторного расслоения;
• ψ _i - первый класс Черна кокасательного линейного расслоения к i -й отмеченной точке.

Число

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

в левой части имеют комбинаторное определение и удовлетворяют свойствам, которые можно доказать комбинаторно. Каждое из этих свойств переводится в утверждение об интегралах в правой части формулы ELSV (Kazarian 2009 ).

Числа Гурвица [ править ]

Числа Гурвица

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

также есть определение в чисто алгебраических терминах. При K = k ₁ + ... + k _n и m = K + n + 2 g - 2 пусть τ ₁ , ..., τ _m - транспозиции в симметрической группе S _K, а σ - перестановка с n пронумерованными циклами длины k ₁ , ..., k _n . Затем

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

является транзитивной факторизацией тождества типа ( k ₁ , ..., k _n ), если произведение

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

равна тождественной перестановке и группе, порожденной

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

является транзитивным .

Определение. - количество транзитивных факторизаций идентичности типа ( k ₁ , ..., k _n ), деленное на K !.${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

Пример А. Число 1 / k ! умноженное на количество списков транспозиций , произведение которых является k -циклом. Другими словами, это 1 / k умноженное на количество факторизаций данного k -цикла в произведение k + 2 g - 1 транспозиций.${\displaystyle h_{g;k}}$${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$${\displaystyle h_{g;k}}$

Эквивалентность между двумя определениями чисел Гурвица (подсчет разветвленных покрытий сферы или подсчет транзитивных факторизаций) устанавливается путем описания разветвленного покрытия его монодромией . Точнее: выберите базовую точку на сфере, пронумеруйте ее прообразы от 1 до K (это вводит множитель K !, который объясняет деление по нему) и рассмотрите монодромии покрытия вокруг точки ветвления. Это приводит к транзитивной факторизации.

Интеграл по пространству модулей [ править ]

Пространство модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ представляет собой гладкий стек Делиня – Мамфорда (комплексной) размерности 3 g - 3 + n . (Эвристически это ведет себя во многом как комплексное многообразие, за исключением того, что интегралы характеристических классов, которые являются целыми числами для многообразий, являются рациональными числами для стеков Делиня – Мамфорда.)

Ходдж расслоение Е есть ранг г векторное расслоение над пространством модулей , слой которого над кривой ( C , х ₁ , ..., х _п ) с п отмеченных точек является пространство абелевых дифференциалов на C . Его классы Черна обозначаются${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

У нас есть

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

Ψ-классы. Введем линейные расслоения над . Слой над кривой ( C , x ₁ , ..., x _n ) является кокасательной прямой к C в точке x _i . Первый класс Черна обозначается через${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

Подынтегральное выражение. Дробь интерпретируется как , где сумма может быть сокращена в степени 3 g - 3 + n (размерность пространства модулей). Таким образом, подынтегральное выражение является произведением n + 1 множителя. Разложим это произведение, извлечем из него часть степени 3 g - 3 + n и проинтегрируем по пространству модулей.${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$

Интеграл как полином. Отсюда следует, что интеграл

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

является симметричным многочленом от переменных k ₁ , ..., k _n , чьи одночлены имеют степени от 3 g - 3 + n до 2 g - 3 + n . Коэффициент при мономе равен${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

где

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

Замечание. Полиномиальность чисел

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

была впервые высказана И. П. Гоулденом и Д. М. Джексоном. Никаких доказательств, независимых от формулы ELSV, не известно.

Пример Б. Пусть g = n = 1. Тогда

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

Пример [ править ]

Пусть n = g = 1. Для упрощения обозначений обозначим k ₁ через k . Имеем m = K + n + 2 g - 2 = k + 1.

Согласно примеру B формула ELSV в этом случае имеет вид

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

С другой стороны, согласно примеру A, число Гурвица h _{1, k} равно 1 / k умноженному на количество способов разложить k -цикл в симметрической группе S _k в произведение k + 1 транспозиций. В частности, h _{1, 1} = 0 (поскольку в S ₁ нет транспозиций ), а h _{1, 2} = 1/2 (поскольку существует единственная факторизация транспозиции (1 2) в S ₂ в произведение три транспозиции).

Подставляя эти два значения в формулу ELSV, мы находим

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

Из чего мы выводим

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

История [ править ]

Формула ELSV была объявлена Ekedahl et al. (1999) , но с ошибочным знаком. Fantechi и Pandharipande (2002) доказали это для k ₁ = ... = k _n = 1 (с исправленным знаком). Грабер и Вакил (2003) доказали полную общность формулы, используя методы локализации. Затем последовало доказательство, объявленное четырьмя первоначальными авторами ( Экедаль и др., 2001 ). Теперь, когда пространство стабильных отображений на проективную прямую относительно точки было построено Ли (2001) , доказательство может быть получено немедленно, применяя виртуальную локализацию к этому пространству.

Казарян (2009) , опираясь на предыдущую работу нескольких человек, дал единый способ вывести наиболее известные результаты в теории пересечений из формулы ELSV.${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

Идея доказательства [ править ]

Пусть - пространство стабильных отображений f из кривой рода g в P ¹ ( C ) таких, что f имеет ровно n полюсов порядков .${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$

Ветвления морфизма уш или Ляшко-Лойенги карту правопреемников к неупорядоченного множества своих т точек ветвления в С с учетом кратности. На самом деле это определение работает, только если f - гладкое отображение. Но он имеет естественное расширение на пространство стабильных отображений. Например, значение f на узле считается двойной точкой ветвления, что можно увидеть, посмотрев на семейство кривых C _t, заданное уравнением xy = t, и семейство отображений f _t ( x , y ) = Икс${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$+ у . При t → 0 две точки ветвления f _t стремятся к значению f ₀ в узле C ₀ .

Морфизм ветвления имеет конечную степень, но имеет бесконечные слои. Теперь наша цель - вычислить его степень двумя разными способами.

Первый способ - подсчитать прообразы общей точки на изображении. Другими словами, мы подсчитываем разветвленные накрытия P ¹ ( C ) с точкой ветвления типа ( k ₁ , ..., k _n ) в ∞ и еще m фиксированными простыми точками ветвления. Это и есть число Гурвица .${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

Второй способ найти степень бр , чтобы посмотреть на прообразе самой точки вырождения, а именно, поставить все м точку ветвления вместе 0 в C .

Прообраз этой точки в - бесконечный слой br, изоморфный пространству модулей . Действительно, для устойчивой кривой с n отмеченными точками мы отправляем эту кривую в 0 в P ¹ ( C ) и присоединяем к ее отмеченным точкам n рациональных компонентов, на которых стабильная карта имеет форму . Таким образом, мы получаем все стабильные отображения в неразветвленных вне 0 и ∞. Стандартные методы алгебраической геометрии позволяют найти степень отображения, глядя на бесконечный слой и его нормальное расслоение. Результат выражается в виде интеграла некоторых характеристических классов по бесконечному слою. В нашем случае этот интеграл оказывается равным правой части формулы ELSV.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

Таким образом, формула ELSV выражает равенство двух способов вычисления степени морфизма ветвления.

Ссылки [ править ]

• Ekedahl, T .; Lando, S .; Шапиро, М .; Вайнштейн, А. (1999). «О числах Гурвица и интегралах Ходжа». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 328 (12): 1175–1180. arXiv : math / 9902104 . Bibcode : 1999CRASM.328.1175E . DOI : 10.1016 / S0764-4442 (99) 80435-2 .
• Ekedahl, T .; Lando, S .; Шапиро, М .; Вайнштейн, А. (2001). «Числа Гурвица и пересечения на пространствах модулей кривых». Изобретать. Математика . 146 (2): 297–327. arXiv : математика / 0004096 . Bibcode : 2001InMat.146..297E . DOI : 10.1007 / s002220100164 .
• Fantechi, B .; Пандхарипанде, Р. (2002). «Стабильные отображения и делители ветвления». Compos. Математика . 130 (3): 345–364. arXiv : math / 9905104 . Bibcode : 1999math ...... 5104F .
• Грабер, Т .; Вакиль, Р. (2003). «Интегралы Ходжа и числа Гурвица через виртуальную локализацию». Compos. Математика . 135 (1): 25–36. arXiv : математика / 0003028 . Bibcode : 2000math ...... 3028G .
• Казарян, М. (2009). «Иерархия КП для интегралов Ходжа». Adv. Математика . 221 (1): 1-21. arXiv : 0809.3263 . DOI : 10.1016 / j.aim.2008.10.017 .
• Ли, Дж. (2001). «Вырождение стабильных морфизмов и относительных стабильных морфизмов». Препринт . arXiv : математика / 0009097 . Bibcode : 2000math ...... 9097L .