Стабильная кривая

В алгебраической геометрии , А кривая стабильна является алгебраическая кривая , которая асимптотически устойчиво в смысле геометрической теории инвариантной .

Это эквивалентно условию, что это полная связная кривая, единственными особенностями которой являются обычные двойные точки, а группа автоморфизмов конечна. Условие конечности группы автоморфизмов можно заменить условием, что она не принадлежит к арифметическому роду один и каждая неособая рациональная компонента встречает другие компоненты по крайней мере в трех точках ( Deligne & Mumford 1969 ).

Кривой полуустойчивый являются одним удовлетворяющего аналогичными условий, за исключением того, что группа автоморфизмов позволено быть восстановительным , а не конечными (или , что эквивалентно его компонента связности может быть тор). В качестве альтернативы условие, что неособые рациональные компоненты встречаются с другими компонентами по крайней мере в трех точках, заменяется условием, что они встречаются по крайней мере в двух точках.

Аналогично кривая с конечным числом отмеченных точек называется стабильной, если она полная, связная, имеет только обычные двойные точки в качестве особенностей и имеет конечную группу автоморфизмов. Например, эллиптическая кривая (неособая кривая рода 1 с 1 отмеченной точкой) устойчива.

Над комплексными числами связная кривая устойчива тогда и только тогда, когда после удаления всех особых и отмеченных точек универсальные накрытия всех ее компонент изоморфны единичному кругу.

Определение [ править ]

Учитывая произвольную схему и настройку стабильной род д кривой над определяются как надлежащий плоский морфизм таким образом, что геометрические волокна уменьшаются, соединенным 1-мерные схемы таким образом, что${\ displaystyle S}$${\ displaystyle g \ geq 2}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: C \ to S}$${\ displaystyle C_ {s}}$

1. ${\ displaystyle C_ {s}}$ имеет только обычные двухточечные особенности
2. Каждый рациональный компонент встречается с другими компонентами более чем в точках${\ displaystyle E}$${\ displaystyle 2}$
3. ${\ displaystyle \ dim H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {C_ {s}}) = g}$

Эти технические условия необходимы, потому что (1) снижает техническую сложность (здесь также может использоваться теория Пикара-Лефшеца), (2) делает кривые жесткими, чтобы не было бесконечно малых автоморфизмов стека модулей, построенного позже, и (3) гарантирует, что арифметический род каждого слоя одинаков. Отметим, что для (1) типы особенностей эллиптических поверхностей можно полностью классифицировать.

Примеры [ править ]

Одним из классических примеров семейства стабильных кривых является семейство кривых Вейерштрасса

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Proj} \ left ({\ frac {\ mathbb {Q} [t] [x, y, z]} {(y ^ {2} zx (xz) (x -tz)}} \ right) \\\ downarrow \\\ имя оператора {Spec} (\ mathbb {Q} [t]) \ end {matrix}}}$

где слои над каждой точкой гладкие, а вырожденные точки имеют только одну двухточечную особенность. Этот пример можно обобщить на случай однопараметрического семейства гладких гиперэллиптических кривых, вырождающихся в конечном числе точек.${\ displaystyle \ neq 0,1}$

Не примеры [ править ]

В общем случае более чем одного параметра необходимо позаботиться о том, чтобы удалить кривые, которые имеют особенности хуже, чем двухточечные. Например, рассмотрим семейство, построенное из многочленов${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

так как вдоль диагонали есть недвухточечные особенности. Другой не пример - это семейство, заданное многочленами${\displaystyle s=t}$${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

которые представляют собой семейство эллиптических кривых, вырождающихся в рациональную кривую с острием.

Свойства [ править ]

Одним из важнейших свойств стабильных кривых является то, что они являются локальными полными пересечениями. Это означает, что можно использовать стандартную теорию двойственности Серра. В частности, можно показать, что каждая устойчивая кривая представляет собой относительно очень обильный пучок; его можно использовать для встраивания кривой в . Используя стандартную теорию схемы Гильберта, мы можем построить схему модулей кривых рода, вложенных в некоторое проективное пространство. Многочлен Гильберта задается формулой${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

В схеме Гильберта содержится подлокус стабильных кривых

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

Это представляет собой функтор

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

где - изоморфизмы стабильных кривых. Чтобы сделать это пространство модулей кривых безотносительно к вложению (которое кодируется изоморфизмом проективных пространств), мы должны модулировать на . Это дает нам стек модулей${\displaystyle \sim }$${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

См. Также [ править ]

• Модули алгебраических кривых

Ссылки [ править ]

• Артин, М .; Уинтерс, Г. (1971-11-01). « Вырожденные волокна и стабильное уменьшение кривых ». Топология . 10 (4): 373–383. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (71) 90028-0. ISSN  0040-9383.
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), "Неприводимость пространства кривых данного рода" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , MR  0262240
• Гизекер, Д. (1982), Лекции по модулям кривых (PDF) , Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Тата , 69 , опубликованные для Института фундаментальных исследований Тата, Бомбей, ISBN 978-3-540-11953-1, Руководство по ремонту  0691308
• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998), Модули кривых , Тексты для выпускников по математике, 187 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98429-2, MR  1631825