В математике эллиптическая поверхность — это поверхность, которая имеет эллиптическое расслоение, другими словами, собственный морфизм со связными слоями на алгебраическую кривую , так что почти все слои являются гладкими кривыми рода 1. (Над алгебраически замкнутым полем, таким как комплекс чисел, эти слои являются эллиптическими кривыми , возможно, без выбранного начала.) Это эквивалентно тому, что общий слой является гладкой кривой рода один. Это следует из правильного изменения базы .
Поверхность и базовая кривая предполагаются неособыми ( сложные многообразия или регулярные схемы , в зависимости от контекста). Слои, не являющиеся эллиптическими кривыми, называются сингулярными и были классифицированы Кунихико Кодаирой . И эллиптические, и сингулярные слои важны в теории струн , особенно в F-теории .
Эллиптические поверхности образуют большой класс поверхностей, который содержит множество интересных примеров поверхностей и относительно хорошо изучен в теориях комплексных многообразий и гладких четырехмерных многообразий . Они подобны (имеют аналогии с, т. е.) эллиптическими кривыми над числовыми полями .
Большинство слоев эллиптического расслоения являются (неособыми) эллиптическими кривыми. Остальные слои называются особыми слоями: их конечное число, и каждое состоит из объединения рациональных кривых, возможно, с особенностями или ненулевыми кратностями (поэтому слои могут быть нередуцированными схемами). Кодаира и Нерон независимо друг от друга классифицировали возможные слои, а алгоритм Тейта можно использовать для определения типа слоев эллиптической кривой над числовым полем.
В следующей таблице перечислены возможные слои минимального эллиптического расслоения. («Минимальный» означает примерно такой, который нельзя разложить на множители через «меньший»; именно, особые слои не должны содержать гладких рациональных кривых с числом самопересечения -1.) Это дает:
Эту таблицу можно найти следующим образом. Геометрические рассуждения показывают, что матрица пересечения компонент слоя должна быть отрицательно полуопределенной, связной, симметричной и не иметь диагональных элементов, равных −1 (по минимальности). Такая матрица должна быть равна 0 или кратна матрице Картана аффинной диаграммы Дынкина типа ADE .