Тензоры в криволинейных координатах

Криволинейные координаты могут быть сформулированы в тензорном исчислении , с важными приложениями в физике и технике ,частностидля описания транспортировки физических величин и деформации вещества в механике жидкости и механике сплошных сред .

Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторой старой научной литературе по механике и физике и может быть незаменимой для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. ^[1] В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения из алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Ogden, ^[2] Naghdi, ^[3] Simmonds, ^[4] Green and Zerna, ^[1] Basar and Weichert, ^[5] и Ciarlet. ^[6]

Преобразования координат [ править ]

Рассмотрим две системы координат с координатными переменными и , которые мы будем кратко обозначать как справедливые и соответственно, и всегда предполагаем, что наш индекс проходит от 1 до 3. Мы будем предполагать, что эти системы координат вложены в трехмерное евклидово пространство. Координаты и могут использоваться для объяснения друг друга, потому что, когда мы движемся по линии координат в одной системе координат, мы можем использовать другую для описания нашего положения. Таким образом, координаты и функции друг друга.${\ displaystyle (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$${\ displaystyle (Z ^ {\ строго {1}}, Z ^ {\ строго {2}}, Z ^ {\ строго {3}})}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$

${\ Displaystyle Z ^ {я} = е ^ {я} (Z ^ {\ строго {1}}, Z ^ {\ острый {2}}, Z ^ {\ острый {3}})}$ за ${\ Displaystyle я = 1,2,3}$

который можно записать как

${\ Displaystyle Z ^ {я} = Z ^ {я} (Z ^ {\ Acute {1}}, Z ^ {\ Acute {2}}, Z ^ {\ строгое {3}}) = Z ^ {i } (Z ^ {\ строго {i}})}$ за ${\ Displaystyle {\ Acute {i}}, я = 1,2,3}$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из в. Обозначим это преобразование через . Поэтому мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными в систему координат с координатами как:${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$

${\ Displaystyle Z = Т ({\ острый {z}})}$

Аналогичным образом мы можем представить как функцию следующего:${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$

${\ displaystyle Z ^ {\ строго {i}} = g ^ {\ строго {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$ за ${\ displaystyle {\ строго {i}} = 1,2,3}$

аналогично мы можем записать свободные уравнения более компактно как

${\ Displaystyle Z ^ {\ острый {i}} = Z ^ {\ острый {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3}) = Z ^ {\ острый {i} } (Z ^ {i})}$ за ${\ Displaystyle {\ Acute {i}}, я = 1,2,3}$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из в . Обозначим это преобразование через . Мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными в систему координат с координатами как:${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$

${\ Displaystyle {\ Acute {z}} = S (z)}$

Если преобразование биективно, то мы называем образ преобразования, а именно набор допустимых координат для . Если она линейная, то система координат будет называться аффинной системой координат , в противном случае - криволинейной системой координат.${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$ ${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$

Якобиан [ править ]

Поскольку теперь мы видим, что координаты и являются функциями друг друга, мы можем взять производную координатной переменной по координатной переменной${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$${\ Displaystyle Z ^ {я}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ строго {я}}}$

учитывать

${\ displaystyle \ partial {Z ^ {i}} \ over \ partial {Z ^ {\ строго {i}}}}$${\displaystyle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}}$${\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}$для , эти производные могут быть расположены в матрице, скажем , в которой элементы в строке и столбце${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle {\acute {i}}^{th}}$

${\displaystyle J}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}J_{\acute {1}}^{1}&J_{\acute {2}}^{1}&J_{\acute {3}}^{1}\\J_{\acute {1}}^{2}&J_{\acute {2}}^{2}&J_{\acute {3}}^{2}\\J_{\acute {1}}^{3}&J_{\acute {2}}^{3}&J_{\acute {3}}^{3}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\end{pmatrix}}}$

Полученная матрица называется матрицей Якоби.

Векторы в криволинейных координатах [ править ]

Пусть ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) - произвольный базис трехмерного евклидова пространства. В общем, базисные векторы не являются ни единичными векторами, ни взаимно ортогональными . Однако они должны быть линейно независимыми. Тогда вектор v можно выразить как ^{[4] ( p27 )}

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}}$

Компоненты v ^k являются контравариантными компонентами вектора v .

Основе взаимности ( б ¹ , б ² , б ³ ) определяется соотношением ^{[4] ( pp28-29 )}

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$

где δ ⁱ _j - символ Кронекера .

Вектор v также можно выразить через взаимный базис:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b} ^{k}}$

Компоненты v _k являются ковариантными компонентами вектора .${\displaystyle \mathbf {v} }$

Тензоры второго порядка в криволинейных координатах [ править ]

Тензор второго порядка можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{~j}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{~j}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Компоненты S ^ij называются контравариантными компонентами, S ⁱ _j - смешанными правоковариантными компонентами, S _i ^j - смешанными левоковариантными компонентами и S _ij - ковариантными компонентами тензора второго порядка.

Метрический тензор и отношения между компонентами [ править ]

Величины g _ij , g ^ij определяются как ^{[4] ( p39 )}

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=g_{ji}~;~~g^{ij}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=g^{ji}}$

Из приведенных выше уравнений имеем

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}}$

Компоненты вектора связаны соотношением ^{[4] ( стр. 30–32 ).}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

Также,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}~v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}~v_{k}}$

Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}~S_{k}^{~j}=g^{jk}~S_{~k}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}}$

Альтернативный тензор [ править ]

В ортонормированном правом базисе переменный тензор третьего порядка определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}~\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

Можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]}$

Сейчас же,

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=J~\varepsilon _{ijk}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijk}}$

Аналогичным образом можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~\varepsilon ^{ijk}}$

Векторные операции [ править ]

Карта идентичности [ править ]

Карта идентичности, которую я определил, может быть представлена ​​следующим образом: ^{[4] ( p39 )}${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$

Скалярное (точечное) произведение [ править ]

Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно ^{[4] ( p32 )}

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

Векторное (перекрестное) произведение [ править ]

Векторное произведение двух векторов определяется по формуле: ^{[4] ( pp32-34 )}

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}}$

где ε _ijk - символ перестановки, а e _i - декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

где - переменный тензор третьего порядка . Векторное произведение двух векторов определяется по формуле:${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

где ε _ijk - символ перестановки и декартов базисный вектор. Следовательно,${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{i}.}$

Следовательно,

${\displaystyle (\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}}$

Вернемся к векторному произведению и воспользуемся соотношениями:

${\displaystyle {\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},}$

дает нам:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

Тензорные операции [ править ]

Карта идентичности [ править ]

Можно показать, что карта идентичности, определенная в ^{[4] ( стр. 39 )}${\displaystyle {\mathsf {I}}}$${\displaystyle {\mathsf {I}}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$

Действие тензора второго порядка на вектор [ править ]

Действие можно выразить в криволинейных координатах как${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle v^{i}\mathbf {b} _{i}=S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}=S_{j}^{i}u^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{ij}u^{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b} ^{i}}$

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка [ править ]

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка может быть выражено в криволинейных координатах как${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{ik}T_{.j}^{k}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{.k}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{.m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S^{ij}T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}}$

Определитель тензора второго порядка [ править ]

Если - тензор второго порядка, то определитель определяется соотношением${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]}$

где - произвольные векторы и${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }$

${\displaystyle \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).}$

Отношения между криволинейными и декартовыми базисными векторами [ править ]

Пусть ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) - обычные декартовы базисные векторы для интересующего евклидова пространства, и пусть

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{i}}$

где F _i - тензор преобразования второго порядка, который отображает e _i в b _i . Потом,

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.}$

Из этого соотношения можно показать, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\cdot \mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}\cdot {\boldsymbol {F}}]_{ij}}$

Позвольте быть якобиан преобразования. Тогда из определения определителя${\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\det {\boldsymbol {F}}\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]~.}$

С

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1}$

у нас есть

${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$

Используя указанные выше соотношения, можно получить ряд интересных результатов.

Сначала рассмотрим

${\displaystyle g:=\det[g_{ij}]}$

потом

${\displaystyle g=\det[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]=J\cdot J=J^{2}}$

Аналогичным образом можно показать, что

${\displaystyle \det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}}}$

Следовательно, используя тот факт, что ,${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=2~J~{\cfrac {\partial J}{\partial g_{ij}}}=g~g^{ij}}$

Еще одно интересное соотношение выводится ниже. Напомним, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$

где A - еще не определенная константа. потом

${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=A~\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})=AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}}$

Это наблюдение приводит к соотношениям

${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})}$

В индексной записи

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})}$

где - обычный символ перестановки .${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Мы не нашли явного выражения для тензора преобразования F, потому что более полезна альтернативная форма отображения между криволинейным и декартовым основаниями. Предполагая достаточную степень гладкости отображения (и немного злоупотребления обозначениями), мы имеем

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}}$

По аналогии,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}~{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial x_{i}}}}$

Из этих результатов мы имеем

${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} ^{k}={\frac {\partial q^{k}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} ^{i}}$

Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Симмондс, ^[4] в своей книге о тензорном анализе , цитирует Альберт Эйнштейн говорил ^[7]

Магия этой теории вряд ли перестанет привлекать к себе любого, кто действительно ее понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных многообразиях в общей теории относительности , ^[8] в механике искривленных оболочек , ^[6] при исследовании свойств инвариантности уравнений Максвелла, которые представляли интерес в метаматериалы ^{[9] [10]} и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Ogden, ^[2] Simmonds, ^[4] Green and Zerna, ^[1] Basar and Weichert, ^[5] и Ciarlet. ^[6]

Основные определения [ править ]

Пусть положение точки в пространстве характеризуется тремя координатными переменными .${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}$

Координат кривой д ¹ представляет собой кривую , на которой д ² , кв ³ являются постоянными. Пусть x будет вектором положения точки относительно некоторого начала. Тогда, предполагая, что такое отображение и обратное к нему существуют и непрерывны, мы можем написать ^{[2] ( p55 )}

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )=[{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )]^{i}}$

Поля ф ^я ( х ) называются криволинейных координат функции по криволинейной системе координат ф ( х ) = φ ^-1 ( х ).

Д ^я координат кривые определяются одним параметром семейства функций , заданных

${\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\alpha )={\boldsymbol {\varphi }}(\alpha ,q^{j},q^{k})~,~~i\neq j\neq k}$

с фиксированными q ^j , q ^k .

Касательный вектор к координатным кривым [ править ]

Касательный вектор к кривой х _I в точке х _я (α) (или координата кривой д _I в точке х ) является

${\displaystyle {\cfrac {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}}{\rm {{d}\alpha }}}\equiv {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$

Градиент [ править ]

Скалярное поле [ править ]

Пусть f ( x ) - скалярное поле в пространстве. потом

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f[{\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})]=f_{\varphi }(q^{1},q^{2},q^{3})}$

Градиент поля f определяется как

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} ){\biggr |}_{\alpha =0}}$

где c - произвольный постоянный вектор. Если мы определим компоненты c ⁱ из c таковы, что

${\displaystyle q^{i}+\alpha ~c^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} +\alpha ~\mathbf {c} )}$

тогда

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr |}_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}}$

Если мы установим , то, поскольку , мы имеем${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \psi ^{i}}{\partial q^{j}}}~c^{j}=c^{i}}$

который предоставляет средства для извлечения контравариантной компоненты вектора c .

Если b _i - ковариантный (или естественный) базис в точке, и если b ⁱ - контравариантный (или обратный) базис в этой точке, то

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}}$

Краткое обоснование этого выбора основы дается в следующем разделе.

Векторное поле [ править ]

Аналогичный процесс можно использовать для получения градиента векторного поля f ( x ). Градиент определяется выражением

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}~c^{i}}$

Если мы рассмотрим градиент позиционного векторного поля r ( x ) = x , то мы можем показать, что

${\displaystyle \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$

Векторное поле b _i касается координатной кривой q ⁱ и образует естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале статьи, также называется ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить взаимный базис или контравариантный криволинейный базис, b ⁱ . Все алгебраические отношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применимы к естественному базису и его обратной величине в каждой точке x .

Поскольку c произвольно, мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$

Обратите внимание, что контрвариантный базисный вектор b ⁱ перпендикулярен поверхности константы ψ ⁱ и имеет вид

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}}$

Символы Кристоффеля первого рода [ править ]

В символах Кристоффеля первого рода определяется как

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}}$

Чтобы выразить Γ _ijk через g _ij, заметим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}}$

Поскольку b _{i, j} = b _{j, i,} имеем Γ _ijk = Γ _jik . Использование их для перестановки приведенных выше соотношений дает

${\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Символы Кристоффеля второго рода [ править ]

В символах Кристоффеля второго рода определяется как

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

в котором

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}}$

Следующие далее отношения

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Еще одно особенно полезное соотношение, показывающее, что символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора и его производных, - это

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)}$

Явное выражение градиента векторного поля [ править ]

Следующие выражения для градиента векторного поля в криволинейных координатах весьма полезны.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$

Представление физического векторного поля [ править ]

Векторное поле v можно представить в виде

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}}_{i}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}}$

где - ковариантные компоненты поля, - физические компоненты, и (без суммирования )${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{i}={\cfrac {\mathbf {b} ^{i}}{\sqrt {g^{ii}}}}}$

- нормированный контравариантный базисный вектор.

Тензорное поле второго порядка [ править ]

Градиент тензорного поля второго порядка можно аналогично выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$

Явные выражения для градиента [ править ]

Если рассматривать выражение для тензора в терминах контравариантного базиса, то

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}}$

Мы также можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{kl}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$

Представление физического тензорного поля второго порядка [ править ]

Физические компоненты тензорного поля второго порядка могут быть получены с использованием нормированного контравариантного базиса, т. Е.

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}={\hat {S}}_{ij}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}\otimes {\hat {\mathbf {b} }}^{j}}$

где штрихованные базисные векторы нормализованы. Это означает, что (опять же без суммирования)

${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}=S_{ij}~{\sqrt {g^{ii}~g^{jj}}}}$

Дивергенция [ править ]

Векторное поле [ править ]

Дивергенции векторного поля ( ) определяется как${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$

В компонентах относительно криволинейного базиса

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}}$

Часто используется альтернативное уравнение для расходимости векторного поля. Чтобы вывести это соотношение, напомним, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }}$

Сейчас же,

${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]}$

Отмечая , что в силу симметрии ,${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$

${\displaystyle g^{mi}~{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}=g^{mi}~{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial q^{m}}}}$

у нас есть

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {g^{mi}}{2}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}$