Теория (математическая логика)
В математической логике теория (также называемая формальной теорией ) представляет собой набор предложений на формальном языке . В большинстве сценариев дедуктивная система сначала понимается из контекста, после чего элемент теории затем называется теоремой теории. Во многих дедуктивных системах обычно есть подмножество , которое называется «набором аксиом » теории , и в этом случае дедуктивная система также называется « аксиоматической системой ». По определению каждая аксиома автоматически является теоремой. Теория первого порядка – это совокупностьпредложения (теоремы) первого порядка , рекурсивно полученные по правилам вывода системы, примененной к набору аксиом.
При определении теорий для фундаментальных целей необходимо проявлять дополнительную осторожность, поскольку обычный теоретико-множественный язык может оказаться неподходящим.
Построение теории начинается с указания определенного непустого концептуального класса , элементы которого называются высказываниями . Эти исходные утверждения часто называют примитивными элементами или элементарными утверждениями теории, чтобы отличить их от других утверждений, которые могут быть получены из них.
Теория — это концептуальный класс, состоящий из некоторых из этих элементарных утверждений. Элементарные утверждения, принадлежащие к , называются элементарными теоремами и считаются истинными . Таким образом, теорию можно рассматривать как способ обозначения подмножества, которое содержит только истинные утверждения.
Этот общий способ обозначения теории предусматривает, что истинность любого из ее элементарных утверждений неизвестна без ссылки на . Таким образом, одно и то же элементарное утверждение может быть истинным по отношению к одной теории, но ложным по отношению к другой. Это напоминает случай в обычном языке, когда такие утверждения, как «Он честный человек», не могут быть признаны истинными или ложными без интерпретации того, кто «он» такой, и — в этом отношении — что такое «честный человек» согласно этой теории. . [1]