Приливное ускорение

Снимок Земли и Луны с Марса . Присутствие Луны (масса которой составляет около 1/81 массы Земли) замедляет вращение Земли и удлиняет день примерно на 2 миллисекунды каждые 100 лет.

Приливное ускорение - это эффект приливных сил между естественным спутником, движущимся по орбите (например, Луной ), и основной планетой, которую он вращает (например, Земля ). Ускорение вызывает постепенное отклонение спутника на прямую орбиту от главной и соответствующее замедление вращения главной звезды. Этот процесс в конечном итоге приводит к приливной блокировке , обычно сначала меньшего, а затем более крупного тела. Система Земля – Луна - наиболее изученный случай.

Аналогичный процесс приливного замедления происходит для спутников, у которых период обращения по орбите короче, чем период вращения главного компонента, или орбита которых движется в ретроградном направлении.

Название несколько сбивает с толку, потому что скорость спутника относительно тела, вокруг которого он вращается, уменьшается в результате приливного ускорения и увеличивается в результате приливного замедления.

Система Земля – Луна [ править ]

История открытия векового ускорения [ править ]

Эдмонд Галлей был первым, кто предположил в 1695 г. ^[1], что среднее движение Луны, по-видимому, ускоряется по сравнению с наблюдениями за древними затмениями , но он не дал никаких данных. (Во времена Галлея еще не было известно, что на самом деле происходит замедление скорости вращения Земли: см. Также Эфемеридное время - История . При измерении как функции среднего солнечного времени, а не единого времени, эффект выглядит как положительное ускорение.) В 1749 году Ричард Данторн подтвердил подозрения Галлея после повторного изучения древних записей и произвел первую количественную оценку размера этого очевидного эффекта: ^[2]центральная скорость +10 ″ (угловых секунд) по лунной долготе, что является удивительно точным результатом для своего времени, не сильно отличающимся от значений, оцененных позже, например, в 1786 году де Лаландом ^[3], и для сравнения со значениями примерно из 10 От ″ до почти 13 ″, возникшие примерно столетием позже. ^{[4] [5]}

Пьер-Симон Лаплас в 1786 году произвел теоретический анализ, дающий основу, на которой среднее движение Луны должно ускоряться в ответ на возмущающие изменения эксцентриситета орбиты Земли вокруг Солнца . Первоначальные вычисления Лапласа учли весь эффект, таким образом, казалось, что теория четко связана как с современными, так и с древними наблюдениями. ^[6]

Однако в 1854 году Джон Кауч Адамс вновь открыл вопрос, обнаружив ошибку в вычислениях Лапласа: оказалось, что только около половины кажущегося ускорения Луны можно объяснить на основе Лапласа изменением эксцентриситета орбиты Земли. . ^[7] Открытие Адамса вызвало острую астрономическую полемику, которая длилась несколько лет, но в конечном итоге была признана правильность его результата, с которой согласились другие астрономы-математики, в том числе К.Э. Делоне . ^[8]Вопрос зависел от правильного анализа движения Луны и усложнился еще одним открытием, примерно в то же время, что еще одно значительное долгосрочное возмущение, которое было рассчитано для Луны (предположительно из-за действия Венеры ), также было по ошибке, при повторном рассмотрении было обнаружено, что оно почти не учитывается и практически должно было исчезнуть из теории. Часть ответа была независимо предложена в 1860-х годах Делоне и Уильямом Феррелом : приливное замедление скорости вращения Земли удлиняло единицу времени и вызывало лишь видимое ускорение Луны. ^[9]

Астрономическому сообществу потребовалось некоторое время, чтобы принять реальность и масштаб приливных эффектов. Но со временем стало ясно, что здесь задействованы три эффекта, если измерять их средним солнечным временем. Помимо эффектов возмущающих изменений эксцентриситета орбиты Земли, обнаруженных Лапласом и исправленных Адамсом, существуют два приливных эффекта (комбинация, впервые предложенная Эммануэлем Ляисом ). Во-первых, это реальное замедление угловой скорости орбитального движения Луны из-за приливного обмена угловым моментом между Землей и Луной. Это увеличивает угловой момент Луны вокруг Земли (и перемещает Луну на более высокую орбиту с более низкой орбитальной скоростью.). Во-вторых, наблюдается явное увеличение угловой скорости орбитального движения Луны (если измерять ее средним солнечным временем). Это происходит из-за потери Землей углового момента и, как следствие, увеличения продолжительности дня. ^[10]

Влияние гравитации Луны [ править ]

Поскольку масса Луны составляет значительную часть массы Земли (около 1:81), эти два тела можно рассматривать как двойную планетную систему, а не как планету со спутником. Плоскость орбиты Луны вокруг Земли лежит близко к плоскости орбиты Земли вокруг Солнца ( эклиптика ), а не в плоскости вращения Земли ( экваторе ), как это обычно бывает с планетными спутниками. Масса Луны достаточно велика и достаточно близка, чтобы вызвать приливы в материи Земли. На первом месте среди таких веществ, то вода из океановвыпячивается к Луне и от нее. Средний пик выпуклости на ближней стороне происходит через несколько мгновений после прохождения Луны над головой, и Земля вращается над и под этими выпуклостями (во всем, кроме крайнего юга и севера, разделенных массами суши с севера на юг) всего за день . Однако это вращение приводит в движение выпуклости перед положением непосредственно под Луной, поскольку каждая приливная выпуклость имеет инерцию, что означает, что она не отступает мгновенно. В любой момент времени это означает, что гораздо более оперативная выпуклость, обращенная к Луне выпуклость, смещена от линии, проходящей через центры Земли и Луны, а именно впереди орбиты Луны. Из-за этого гравитационное притяжение этого более близкого (столь важного для гравитации) приливная выпуклость и Луна не совсем параллельна линии Земля-Луна, т.е. создает крутящий момент между Землей и Луной. Этот крутящий момент ускоряет движение Луны по орбите и замедляет вращение Земли.

В результате этого процесса средний солнечный день, который должен составлять 86400 равных секунд, фактически становится длиннее, если измерять его в секундах системы СИ с помощью стабильных атомных часов . (Секунда в системе СИ, когда она была принята, была уже немного короче, чем текущее значение секунды среднего солнечного времени. ^[11] ) Небольшая разница накапливается со временем, что приводит к увеличению разницы между нашими часами ( всемирное время ). с одной стороны, и атомное время и эфемеридное время с другой: см. ΔT . Это привело к введению дополнительной секунды в 1972 г. ^[12] чтобы компенсировать различия в базах стандартизации времени.

Помимо влияния океанских приливов, существует также приливное ускорение из-за изгиба земной коры, но это составляет лишь около 4% от общего эффекта, выраженного в терминах рассеивания тепла. ^[13]

Если бы другие эффекты не принимались во внимание, приливное ускорение продолжалось бы до тех пор, пока период вращения Земли не совпадет с периодом обращения Луны. В то время Луна всегда находилась бы над одним фиксированным местом на Земле. Такая ситуация уже существует в системе Плутон - Харон . Однако замедление вращения Земли происходит недостаточно быстро, чтобы вращение удлинялось до месяца, прежде чем другие эффекты сделают это несущественным: примерно через 1–1,5 миллиарда лет непрерывное увеличение солнечной радиации , вероятно, приведет к испарению океанов Земли. , ^[14]устранение основной части приливного трения и ускорения. Даже без этого замедление до дня длиной в месяц не было бы завершено через 4,5 миллиарда лет, когда Солнце, вероятно, превратится в красного гиганта и, вероятно, уничтожит и Землю, и Луну. ^{[15] [16]}

Приливное ускорение - один из немногих примеров в динамике Солнечной системы так называемого векового возмущения орбиты, то есть возмущения, которое непрерывно увеличивается со временем и не является периодическим. До высокого порядка приближения взаимные гравитационные возмущения между большими и малыми планетами вызывают только периодические изменения их орбит, то есть параметры колеблются между максимальными и минимальными значениями. Эффект приливов приводит к появлению квадратичного члена в уравнениях, который приводит к неограниченному росту. В математических теориях планетных орбит, которые составляют основу эфемерид , встречаются квадратичные и секулярные члены более высокого порядка, но в основном этоРазложения Тейлора периодических членов с очень большим временем. Причина, по которой приливные эффекты различны, заключается в том, что в отличие от далеких гравитационных возмущений, трение является важной частью приливного ускорения и приводит к необратимой потере энергии динамической системой в виде тепла . Другими словами, здесь нет гамильтоновой системы . ^{[ необходима цитата ]}

Угловой момент и энергия [ править ]

Гравитационный момент между Луной и приливной выпуклостью Земли заставляет Луну постоянно перемещаться на несколько более высокую орбиту, а Землю замедлять свое вращение. Как и в любом физическом процессе в изолированной системе, полная энергия и угловой момент сохраняются. Фактически, энергия и угловой момент передаются от вращения Земли к орбитальному движению Луны (однако большая часть энергии, теряемой Землей (-3,321 ТВт) ^{[ необходима цитата ]} , преобразуется в тепло за счет потерь на трение в океанах и их взаимодействие с твердой Землей, и только около 1/30 (+0,121 ТВт) передается на Луну). Луна удаляется дальше от Земли (+ 38,247 ± 0,004 мм / год), поэтому еепотенциальная энергия, которая все еще остается отрицательной (в гравитационном колодце Земли ), увеличивается, т.е. становится менее отрицательной. Он остается на орбите, и из 3-го закона Кеплера следует, что его угловая скорость на самом деле уменьшается, поэтому приливное воздействие на Луну фактически вызывает угловое замедление, то есть отрицательное ускорение (-25,858 ± 0,003 дюйма / столетие ² ) ее вращения вокруг Земля. Фактическая скорость Луны также уменьшается. Хотя ее кинетическая энергия уменьшается, ее потенциальная энергия увеличивается на большую величину, то есть E _p = -2E _c ( теорема вириала ).

Вращающий момент вращения Земли уменьшается, и, следовательно, продолжительность дня увеличивается. Чистый поток вырос на Землю Луны тащится впереди Луны гораздо быстрее вращения Земли. Приливное трение необходимо для того, чтобы тянуть и поддерживать выпуклость перед Луной, и оно рассеивает избыточную энергию обмена вращательной и орбитальной энергией между Землей и Луной в виде тепла. Если бы не было трения и рассеивания тепла, гравитационная сила Луны на приливной выпуклости быстро (в течение двух дней) вернула бы прилив в синхронизацию с Луной, и Луна больше не отступала бы. Большая часть рассеивания происходит в турбулентном придонном пограничном слое в мелководных морях, таких как европейский шельф вокругБританские острова , Патагонский шельф у Аргентины и Берингово море . ^[17]

Рассеяние энергии за счет приливного трения составляет в среднем около 3,75 тераватт, из которых 2,5 тераватта приходится на основной лунный компонент M _2, а остальная часть - на другие компоненты, как лунные, так и солнечные. ^[18]

Равновесие приливное вздутие на самом деле не существует на Земле , потому что континенты не позволяют это математическое решение иметь место. Океанические приливы на самом деле вращаются вокруг бассейнов океана в виде огромных круговоротов вокруг нескольких амфидромных точек, где нет приливов. Луна притягивает каждую отдельную волну по мере вращения Земли - одни волны идут впереди Луны, другие - позади нее, а третьи - по обе стороны. «Выпуклости», которые на самом деле существуют, чтобы Луна могла тянуть (и которые притягивают Луну), являются чистым результатом интеграции фактических волн над всеми океанами мира. Сеть Земли (или эквивалент) равновесный прилив имеет амплитуду всего 3,23 см, который полностью затопляется океанскими приливами, которые могут превышать один метр.

Исторические свидетельства [ править ]

Этот механизм работает уже 4,5 миллиарда лет, с тех пор как на Земле впервые образовались океаны, но меньше времени, когда большая часть воды была льдом . Есть геологические и палеонтологические свидетельства того, что Земля вращалась быстрее и что Луна была ближе к Земле в далеком прошлом. Приливные ритмы - это чередующиеся слои песка и ила, откладывающиеся на берегу от устьев рек.имея большие приливные потоки. В депозитах можно найти суточные, месячные и сезонные циклы. Эта геологическая летопись согласуется с этими условиями 620 миллионов лет назад: день составлял 21,9 ± 0,4 часа, и было 13,1 ± 0,1 синодических месяцев в году и 400 ± 7 солнечных дней в году. Средняя скорость удаления Луны с тех пор и сейчас составляла 2,17 ± 0,31 см / год, что примерно вдвое меньше нынешней скорости. Нынешняя высокая скорость может быть результатом почти резонанса между естественными частотами океана и частотами приливов. ^[19]

Анализ наслоения в раковинах ископаемых моллюсков 70 миллионов лет назад, в позднемеловом периоде, показывает, что в году было 372 дня, и, таким образом, продолжительность дня тогда составляла примерно 23,5 часа. ^{[20] [21]}

Количественное описание случая Земля – Луна [ править ]

За движением Луны можно следить с точностью до нескольких сантиметров с помощью лазерной локации Луны (LLR). Лазерные импульсы отражаются от зеркал на поверхности Луны, установленных во время миссий Аполлон с 1969 по 1972 год и Луноходом- 2 в 1973 году. ^{[22] [23]} Измерение времени возврата импульса позволяет очень точно измерить расстояние . Эти измерения соответствуют уравнениям движения. Это дает числовые значения для векового замедления Луны, то есть отрицательного ускорения, по долготе и скорости изменения большой полуоси эллипса Земля – Луна. Результаты за период 1970–2012 гг .:

−25,82 ± 0,03 угловой секунды / столетие ² по эклиптической долготе ^[24]

+38,08 ± 0,04 мм / год для среднего расстояния Земля – Луна ^[24]

Это согласуется с результатами спутниковой лазерной локации (SLR), аналогичного метода, применяемого к искусственным спутникам на орбите Земли, который дает модель гравитационного поля Земли, включая приливы. Модель точно предсказывает изменения в движении Луны.

Наконец, древние наблюдения солнечных затмений дают довольно точные положения Луны в эти моменты. Исследования этих наблюдений дают результаты, согласующиеся с приведенным выше значением. ^[25]

Другое последствие приливного ускорения - замедление вращения Земли. Вращение Земли несколько неустойчиво во всех временных масштабах (от часов до столетий) по разным причинам. ^[26] Небольшой приливный эффект нельзя наблюдать за короткий период, но совокупный эффект на вращение Земли, измеряемый с помощью стабильных часов ( эфемеридное время , атомное время ), нехватки даже нескольких миллисекунд каждый день становится легко заметным через несколько веков. Со времени какого-то события в далеком прошлом прошло больше дней и часов (при измерении полного оборота Земли) ( всемирное время ), чем можно было бы измерить стабильными часами, откалиброванными по настоящей, более длинной длине дня (эфемеридное время). Это известно как ΔT. Последние значения можно получить в Международной службе вращения Земли и систем отсчета (IERS). ^[27] Также доступна таблица фактической продолжительности дня за последние несколько столетий. ^[28]

Из наблюдаемого изменения орбиты Луны можно вычислить соответствующее изменение продолжительности дня:

+2,3 мс / сут / столетие или +84 с / цикл ² или +63 нс / сут ² .

Однако из исторических записей за последние 2700 лет найдено следующее среднее значение:

+1,70 ± 0,05 мс / сут / столетие ^{[29] [30]} или +62 с / цикл ^2, или +46,5 нс / сут ² . (т.е. причина ускорения составляет -0,6 мс / день / цикл)

По два раза интегрирования по времени, соответствующая накопленная величина представляет собой параболу , имеющий коэффициент T ² (время в квадрате вв) из ( ¹ / ₂ ) 62 с / CY ²  :

Δ Т = ( ¹ / ₂ ) 62 с / су ² Т ² = +31 с / су ² Т ² .

Противодействие приливному замедлению Земли - это механизм, который фактически ускоряет вращение. Земля - ​​не сфера, а эллипсоид, сплющенный на полюсах. SLR показал, что это сплющивание уменьшается. Объяснение заключается в том, что во время ледникового периодана полюсах собирались большие массы льда, которые вдавили подстилающие породы. Ледяная масса начала исчезать более 10000 лет назад, но земная кора все еще не находится в гидростатическом равновесии и все еще восстанавливается (время релаксации оценивается примерно в 4000 лет). Как следствие, полярный диаметр Земли увеличивается, а экваториальный диаметр уменьшается (объем Земли должен оставаться прежним). Это означает, что масса приближается к оси вращения Земли и момент инерции Земли уменьшается. Один только этот процесс приводит к увеличению скорости вращения (феномен вращающегося фигуриста, который вращается все быстрее, убирая руки). По наблюдаемому изменению момента инерции можно вычислить ускорение вращения: среднее значение за исторический период должно быть около -0.6 мс / век. Это во многом объясняет исторические наблюдения.

Другие случаи приливного ускорения [ править ]

Большинство естественных спутников планет в некоторой степени испытывают приливное ускорение (обычно небольшое), за исключением двух классов тел, замедленных приливом. В большинстве случаев, однако, эффект настолько мал, что даже через миллиарды лет большинство спутников фактически не будет потеряно. Эффект, вероятно, наиболее заметен для второго спутника Марса Деймоса , который может стать астероидом, пересекающим Землю, после того, как выйдет из рук Марса. ^{[ необходима цитата ]} Эффект также возникает между различными компонентами двойной звезды . ^[31]

Приливное замедление [ править ]

Это бывает двух разновидностей:

Считается, что Меркурий и Венера не имеют спутников главным образом потому, что любой гипотетический спутник давно бы пострадал от замедления и врезался бы в планеты из-за очень медленных скоростей вращения обеих планет; кроме того, у Венеры также есть ретроградное вращение.

Теория [ править ]

Размер приливной выпуклости [ править ]

Пренебрегая осевым наклоном , приливная сила, которую спутник (например, Луна) оказывает на планету (например, на Землю), может быть описана изменением его гравитационной силы на расстоянии от нее, когда эта сила рассматривается как приложенная к единице. масса :${\ displaystyle dm}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta F} {\ delta r}} = - 2 {\ frac {Gm \, dm} {r ^ {3}}}}$

где G - универсальная гравитационная постоянная , m - масса спутника, а r - расстояние между спутником и планетой.

Таким образом, спутник создает на планете тревожный потенциал, разница которого между центром планеты и ближайшей (или самой дальней) точкой к спутнику составляет:

${\ displaystyle \ Delta V = 2 {\ frac {Gm \, dm \, ​​A ^ {2}} {r ^ {3}}}}$

где A - радиус планеты.

Размер приливной выпуклости, созданной на планете, можно приблизительно оценить как отношение между этим возмущающим потенциалом и силой тяжести на поверхности планеты:

${\ displaystyle H \ приблизительно {\ гидроразрыва {\ Delta V} {GM \, dm / A ^ {2}}} = 2 {\ frac {mA ^ {4}} {Mr ^ {3}}}}$

Более точный расчет дает: ^[33]

${\ displaystyle H = {\ frac {15} {8}} {\ frac {mA ^ {4}} {Mr ^ {3}}}}$

предполагая, что мы пренебрегаем эффектом второго порядка из-за жесткости материала планеты.

Для системы Луна-Земля ( m  = 7,3 × 10 ²² кг, M  = 6 × 10 ²⁴ кг, A  = 6,4 × 10 ⁶  м, r  = 3,8 × 10 ⁸ ) это дает 0,7 метра, что близко к истинному значению для высота океанских приливов (примерно один метр).

Обратите внимание, что образуются две выпуклости, одна с центром примерно вокруг точки, ближайшей к спутнику, а другая с центром примерно вокруг точки, наиболее удаленной от него.

Крутящий момент [ править ]

Из-за вращения планеты выпуклости несколько отстают (?, Впереди) оси планеты-спутника, что создает угол между ними. Величина этого угла запаздывания зависит от инерции и (что гораздо важнее) от сил рассеяния (например, трения), действующих на выступ.${\ displaystyle \ alpha}$

Спутник прикладывает разные силы к ближнему и дальнему выступу. Разница примерно равна диаметру планеты, где мы заменяем единицу массы в приведенном выше вычислении приблизительной массой каждой выпуклости (где ρ - массовая плотность выпуклости):${\ displaystyle \ delta F / \ delta r}$${\ Displaystyle \ пи \, \ ро \, А ^ {2} \, Н}$

${\ displaystyle \ Delta F \ приблизительно {\ frac {\ delta F} {\ delta r}} \ cdot 2A \ cdot \ cos (\ alpha) = 4 \ pi {\ frac {Gm \ rho A ^ {3} H } {г ^ {3}}} \ соз (\ альфа)}$

где мы учли влияние угла запаздывания .${\ displaystyle \ alpha}$

Чтобы получить приблизительную оценку крутящего момента, создаваемого спутником на планете, нам нужно умножить эту разницу на длину рычага (который является диаметром планеты) и на синус угла запаздывания, получив:

${\displaystyle N\approx 8\pi {\frac {Gm\rho A^{4}\,H}{r^{3}}}\cos(\alpha )\sin(\alpha )=4\pi {\frac {Gm\rho A^{4}H}{r^{3}}}\sin(2\alpha )}$

Более точный расчет добавляет коэффициент 2/5 из-за сферической формы планеты и дает: ^[33]

${\displaystyle N={\frac {8}{5}}\pi {\frac {Gm\rho A^{4}H}{r^{3}}}\sin(2\alpha )}$

Вставив значение H, найденное выше, это:

${\displaystyle N=3\pi {\frac {Gm^{2}\rho A^{8}}{Mr^{6}}}\sin(2\alpha )}$

Это можно записать так:

${\displaystyle N={\frac {9}{4}}k{\frac {Gm^{2}A^{5}}{r^{6}}}\sin(2\alpha )}$

Где k - связанный коэффициент, который может быть выражен числами Лява с учетом неоднородности плотности массы планеты; сюда также входят поправки из-за жесткости планеты, на которые пренебрегли выше. Для Земли большая часть выпуклости состоит из морской воды и не имеет поправки на жесткость, но ее массовая плотность составляет 0,18 средней плотности массы Земли (1 г / см ³ против 5,5 г / см ³ ), поэтому . В литературе используется близкое значение 0,2 ( ^[34] ).${\displaystyle k\approx 0.18}$${\displaystyle {}=2k_{2}/3}$

Аналогичный расчет можно сделать для приливов, созданных на планете Солнцем. Здесь m следует заменить массой Солнца, а r - расстоянием до Солнца. Поскольку α зависит от диссипативных свойств Земли, ожидается, что он будет одинаковым для обоих. В результате крутящий момент составляет 20% от крутящего момента Луны.

Связь угла запаздывания с рассеянием энергии [ править ]

Работа, производимая спутником над планетой, создается силой F, действующей на пути движения единиц массы, движущихся со скоростью u на планете (фактически, в выпуклости).

Силы и расположение зависят от относительного угла к оси планеты-спутника θ , который периодически изменяется с угловым моментом Ω . Поскольку сила в сферической системе координат планеты симметрична в направлении к спутнику и в противоположном направлении (в обоих направлениях наружу), зависимость аппроксимируется синусоидальной по 2 θ . Таким образом, сила, действующая на единицу массы, имеет вид:

${\displaystyle dF(t)=dF_{0}\cos(2\theta )=dF_{0}\cos(2\Omega t)}$

а перевод, спроецированный в том же направлении, имеет вид:

${\displaystyle \xi (t)=\xi _{0}\cos(2(\theta -\alpha )=\xi _{0}\cos(2(\Omega t-\alpha )}$

из-за угла запаздывания. Таким образом, составляющая скорости в направлении силы равна:

${\displaystyle u(t)={\frac {d\xi (t)}{dt}}=-2\Omega \xi _{0}\sin(2(\theta -\alpha )}$

Таким образом, общая работа над единицей массы за один цикл равна: ^[34]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /\Omega }{\vec {dF}}(t){\vec {u}}(t)\,dt=-2\Omega \,dF_{0}\xi _{0}\int _{0}^{\pi /\Omega }\cos(2\Omega t)\sin(2(\Omega t-\alpha ))\,dt=-\pi \,dF_{0}\xi _{0}\sin(2\alpha )}$

Фактически, почти все это рассеивается (например, в виде трения), как объясняется ниже.

Теперь, глядя на полную энергию от потенциала спутника в одном из выступов, это равно полной работе, выполняемой над ним в четверти общего углового диапазона, то есть от нуля до максимального смещения:

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{*}&=\int _{-\pi /4\Omega +\alpha /\Omega }^{\alpha /\Omega }{\vec {dF}}(t){\vec {u}}(t)\,dt=-2\Omega \,dF_{0}\xi _{0}\int _{-\pi /4\Omega +\alpha /\Omega }^{\alpha /\Omega }\cos(2\Omega t)\sin(2(\Omega t-\alpha ))\,dt\\[5pt]&=-dF_{0}\xi _{0}\int _{-\pi /2}^{0}\cos(z+2\alpha )\sin(z)\,dz\approx {\frac {1}{2}}\,dF_{0}\xi _{0}\end{aligned}}}$

где мы определили и аппроксимировали для малых α в последнем равенстве, пренебрегая им.${\displaystyle z=2(\Omega t-\alpha )}$

Доля энергии, рассеиваемой в каждом цикле, представлена ​​эффективной удельной функцией рассеяния, обозначаемой и определяемой как общее рассеивание за один цикл, деленное на . Это дает: ^[34]${\displaystyle Q^{-1}}$${\displaystyle 2\pi E^{*}}$

${\displaystyle Q^{-1}=\sin(2\alpha )}$

Его значение оценивается как 1/13 для Земли, где выпуклость в основном жидкая, 10 ⁻¹ -10 ⁻² для других внутренних планет и Луны, где выпуклость в основном сплошная, и как 10 ⁻³ −10 ⁻⁵ для внешних, преимущественно газовых планет. ^{[33] [34]}

Имея это значение для Земли, можно рассчитать крутящий момент, равный 4,4 × 10 ¹⁶ Н · м, что всего на 13% выше измеренного значения 3,9 · 10 ¹⁶ Н · м. ^[34]

Отметим, что в далеком прошлом для системы Земля – Луна значение, вероятно, было несколько меньше. ^[34]${\displaystyle k\cdot \sin(2\alpha )}$

Замедление вращения планеты [ править ]

Снова пренебрегая осевым наклоном , изменение углового момента L планеты во времени равно крутящему моменту. Л , в свою очередь , является произведением угловой скорости Q , с моментом инерции I .

Для сферической планеты с приблизительно одинаковой плотностью массы,, где f - коэффициент, зависящий от структуры планеты; сферическая планета однородной плотности имеет f = 2/5 = 0,4. Поскольку угловой момент Это дает:${\displaystyle I=fMA^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}={\frac {dL}{I\,dt}}={\frac {N}{I}}={\frac {45}{8}}k{\frac {Gm^{2}A^{3}}{Mr^{6}}}\sin(2\alpha )}$

Поскольку плотность Земли больше на глубине, ее момент инерции несколько меньше, с f = 0,33. ^[35]

Для системы Земля-Луна, принимая 1/13 и k  = 0,2, мы получаем замедление вращения Земли d Ω / d t = -4,5 × 10 ⁻²² радиан с ⁻² = -924,37 "cy ^−2, что соответствует до ускорения длины дня (LOD) 61 с / день ² или 1,7 мс / день / цикл или 46 нс / день ²${\displaystyle \sin(2\alpha )}$. Для 24-часового дня это эквивалентно увеличению LOD на 17 секунд за 1 миллион лет или 1 часу (то есть удлинению дня на 1 час) за 210 миллионов лет. Из-за дополнительного 20-процентного воздействия Солнца день удлиняется на 1 час примерно за 180 миллионов лет. Этот расчет является чистой теорией, он не предполагает рассеяния или накопления сил за счет тепла трения, что нереально с учетом воздушных масс, океанов и тектоники . Объекты на орбите системы Земля-Луна аналогичным образом могут истощить инерцию, например: 2020 CD3

Аналогичный расчет показывает, что Земля через приливное трение передавала угловой момент на самовращение Луны до того, как это стало приливной блокировкой . В этот период вычисляется изменение углового момента Луны ω таким же образом, как и для Ω выше, за исключением того, что m и M должны быть поменяны местами, а A следует заменить радиусом Луны a  = 1,7 × 10 ⁶ метров. Принимая 10 ⁻¹ - 10 ⁻² для твердых планет и k  = 1, это дает замедление вращения Луны d ω / d t = -3 × 10${\displaystyle \sin(2\alpha )}$⁻¹⁷ - −3 × 10 ⁻¹⁸ радиан с ⁻² . За длительный период вращения в 29,5 дней, это эквивалентно 1,5 - 15 минут в 1 год или 1 день в 10 ² - 10 ³ лет. Таким образом, в астрономических масштабах времени Луна очень быстро оказалась приливной синхронизацией.

Влияние на движение спутника вокруг планеты [ править ]

Из-за сохранения углового момента, вращающий момент такой же величины, как у спутника, и противоположного направления, действует на движение спутника вокруг планеты со стороны планеты. Другой эффект, который здесь не рассматривается, - это изменения эксцентриситета и наклона орбиты.

Момент инерции этого движения равен m r ² . Однако теперь само r зависит от угловой скорости, которую мы обозначаем здесь n : согласно ньютоновскому анализу орбитального движения :

${\displaystyle r^{3}n^{2}=GM}$

Таким образом, угловой момент орбиты спутника ℓ удовлетворяет (без учета эксцентриситета ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ell =mr^{2}n=m{\sqrt {GM}}\,r^{1/2}\\[5pt]&N={\frac {dL}{dt}}={\frac {1}{2}}m{\sqrt {GM}}\,r^{-1/2}{\frac {dr}{dt}}\\[5pt]&{\frac {dr}{dt}}={\frac {2r^{1/2}}{m{\sqrt {GM}}}}N={\frac {9}{2}}k{\sqrt {\frac {G}{M}}}{\frac {mA^{5}}{r^{11/2}}}\sin(2\alpha )\end{aligned}}}$

Кроме того, поскольку у нас есть:${\displaystyle n={\sqrt {GM}}r^{-3/2}}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {GM}}r^{-5/2}{\frac {dr}{dt}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {n}{r}}{\frac {dr}{dt}}={\frac {27}{4}}kG{\frac {mA^{5}}{r^{8}}}\sin(2\alpha )}$

Обратите внимание: если предположить, что все вращения происходят в одном направлении и Ω > ω , с течением времени угловой момент планеты уменьшается и, следовательно, момент орбиты спутника увеличивается. Последнее увеличивается из-за его связи с расстоянием между планетой и спутником, поэтому угловая скорость орбиты спутника уменьшается.

Для системы Земля-Луна d r / d t дает 1,212 × 10 ^-9 метров в секунду (или нм / с), или 3,8247 см в год (или также м / с) ^{[ 24 ]} . Это увеличение расстояния Земля-Луна на 1% за 100 миллионов лет. Замедление Луны d n / d t составляет -1,2588 × 10 ^-23 радиан с ^-2 или -25,858 "/ cy ² , а для периода 29,5 дней (синодический месяц) эквивалентно увеличению на 38 мс / cy, или 7 минут через 1 миллион лет, или 1 день (т.е. удлинение лунного периода за 1 день) через 210 миллионов лет.

Эффект Солнца [ править ]

Система Солнце-планета имеет два эффекта приливного трения. Один из эффектов заключается в том, что Солнце создает приливное трение на планете, которое уменьшает его вращающий угловой момент и, следовательно, также увеличивает его орбитальный угловой момент вокруг Солнца, тем самым увеличивая расстояние и уменьшая его угловую скорость (при условии, что орбитальная угловая скорость Солнца меньше, чем у вращающейся планеты; в противном случае направления изменения противоположны).

Если M _S - масса Солнца, а D - расстояние до него, то скорость изменения D определяется, как и в приведенном выше вычислении, следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}={\frac {2D^{1/2}}{M{\sqrt {GM_{S}}}}}N_{S}={\frac {9}{2}}k{\frac {{\sqrt {G}}\,M_{S}^{3/2}\,A^{5}}{MD^{11/2}}}\sin(2\alpha )}$

Орбитальная угловая скорость планеты Ω _S изменяется как:

${\displaystyle {\frac {d\Omega _{S}}{dt}}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {GM_{S}}}D^{-5/2}{\frac {dD}{dt}}={\frac {27}{4}}k{\frac {GM_{S}^{2}\,A^{5}}{MD^{8}}}\sin(2\alpha )}$

Для системы Земля-Солнце это дает 1 × 10 ^-13 метров в секунду, или 3 метра за 1 миллион лет. Это увеличение расстояния между Землей и Солнцем на 1% за полмиллиарда лет. Замедление орбитальной угловой скорости Земли составляет -2 × 10 ⁻³¹ радиан с ² или -410 × 10 ⁻⁹ дюймов / с ² , или, что эквивалентно, для периода в 1 год, 1 секунду за 1 миллиард лет.

Другой, относительно незначительный эффект заключается в том, что планета создает приливное трение на Солнце. Это приводит к изменению расстояния до Солнца и орбитальной угловой скорости вокруг него, как и для спутника в системе спутник-планета. Используя те же уравнения, но теперь для системы планета-Солнце, где A _S означает радиус Солнца (7 × 10 ⁸ метров), мы имеем:

${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}={\frac {9}{2}}k_{S}{\sqrt {\frac {G}{M_{S}}}}{\frac {M{A_{S}}^{5}}{D^{11/2}}}\sin(2\alpha _{S})}$

${\displaystyle {\frac {d\Omega _{S}}{dt}}={\frac {27}{4}}k_{S}G{\frac {MA_{S}^{5}}{D^{8}}}\sin(2\alpha _{S})}$

где k _S - множитель, предположительно очень малый, из-за неоднородности массовой плотности Солнца. Если предположить, что этот множитель, умноженный на sin (2 α _S ), не больше, чем то, что находится на внешних планетах, то есть 10 ⁻³ - 10 ⁻⁵ , ^[33], мы получаем незначительный вклад этого эффекта.

Подробный расчет для системы Земля – Луна [ править ]

Возможное возмущение, создаваемое Луной на Земле [ править ]

Потенциал на единицу массы, создаваемый Луной на Земле, центр которой расположен на расстоянии r ₀ от Луны по оси z , во вращающейся системе отсчета Земля-Луна и в координатах с центром в центре Земли, составляет:

${\displaystyle {\cal {W}}=-{\frac {Gm}{|({\vec {r}})-r_{0}{\hat {z}}|}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}|{\vec {r}}-r_{1}{\hat {z}}|^{2}}$

где - расстояние от Луны до центра масс системы Земля – Луна, ω - угловая скорость Земли вокруг этой точки (такая же, как орбитальная угловая скорость Луны). Второй член - эффективный потенциал центробежной силы Земли.${\displaystyle r_{1}}$

Мы расширяем потенциал в серии Тейлора вокруг точки. Линейный член должен исчезнуть (по крайней мере, в среднем по времени), поскольку в противном случае сила в центре Земли не была бы нулевой. Таким образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {W}}&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+(z-r_{1})^{2}\right)-{\frac {Gm}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-r_{0})^{2}}}}\\[5pt]&={\text{constant}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-{\frac {Gm}{r_{0}^{3}}}\left(z^{2}-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {Gm}{r_{0}^{5}}}(\cdots )+\cdots \end{aligned}}}$

Переход к сферическим координатам дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {W}}&={\text{constant}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r^{2}-{\frac {Gmr^{2}}{r_{0}^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}(\theta )-1)+{\frac {Gm}{r_{0}^{5}}}(\cdots )+\cdots \\[5pt]&={\text{constant}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r^{2}-Gm\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {r^{n}}{r_{0}^{n+1}}}P_{n}(\cos \theta )\end{aligned}}}$

где - полиномы Лежандра .${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$

Постоянный член не имеет механического значения, а вызывает фиксированное расширение и не участвует напрямую в создании крутящего момента.${\displaystyle r^{2}}$

Таким образом, мы сосредотачиваемся на других членах, сумму которых мы обозначаем , и, главным образом, на самом большом члене, как, самое большее, отношение радиуса Земли к ее расстоянию от Луны, которое составляет менее 2%.${\displaystyle {\cal {W}}_{2+}}$${\displaystyle P_{2}(\cos \theta )}$${\displaystyle {\frac {r}{r_{0}}}}$

Форма выпуклости I: реакция на пертурбативный потенциал [ править ]

Мы рассматриваем потенциал, создаваемый Луной, как возмущение гравитационного потенциала Земли. Таким образом, высота на Земле под углами , составляет:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle r(\theta ,\varphi )=A+\delta (\theta ,\varphi )}$

где , а амплитуда δ пропорциональна возмущению. Мы разложим δ в полиномы Лежандра, где постоянный член (обозначающий растяжение) будет проигнорирован, поскольку он нас не интересует. Таким образом:${\displaystyle \delta \ll A}$

${\displaystyle \delta (\theta ,\varphi )=\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )}$

где δ _n - неизвестные константы, которые мы хотим найти.

Мы предполагаем на данный момент полное равновесие, а также отсутствие жесткости на Земле (например, как в жидкой Земле). Следовательно, его поверхность эквипотенциальна , а значит , постоянна, где - потенциал Земли на единицу массы. Поскольку δ пропорционально , что намного меньше V _E , это можно разложить по δ . Отбросив нелинейные члены, получим:${\displaystyle V_{E}\left(r(\theta ,\varphi )\right)+W_{2+}\left(r(\theta ,\varphi )\right)}$${\displaystyle V_{E}(r)}$${\displaystyle W_{2+}}$

${\displaystyle {\text{constant}}=V_{E}\left(r(\theta ,\varphi )\right)+{\cal {W}}_{2+}(r(\theta ,\varphi ))\approx V_{E}(A)+V_{E}^{\prime }(A)\delta (\theta ,\varphi )+{\cal {W}}_{2+}(A)}$

${\displaystyle {\text{constant}}=V_{E}^{\prime }(A)\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )-Gm\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {A^{n}}{r_{0}^{n+1}}}P_{n}(\cos \theta )}$

Обратите внимание, что это сила на единицу массы от силы тяжести Земли, то есть просто ускорение свободного падения g .${\displaystyle V_{E}^{\prime }(r)\equiv dV_{E}(r)/dr}$${\displaystyle V_{E}^{\prime }(A)}$

Поскольку полиномы Лежандра ортогональны , мы можем приравнять их коэффициенты в обеих частях уравнения, давая:

${\displaystyle \delta _{1}=0}$

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {GmA^{n}/r_{0}^{n+1}}{V_{E}^{\prime }(A)}}={\frac {GmA^{n}/r_{0}^{n+1}}{GM/A^{2}}}={\frac {mA^{n+2}}{Mr_{0}^{n+1}}},\qquad n\geq 2}$

Таким образом, высота - это отношение потенциала возмущения к силе возмущенного потенциала.

Форма выпуклости II: деформация, создающая пертурбативный потенциал [ править ]

До сих пор мы пренебрегали тем фактом, что сама деформация создает пертурбативный потенциал. Чтобы учесть это, мы можем вычислить этот пертурбативный потенциал, повторно вычислить деформацию и продолжить итеративно.

Предположим, что плотность массы однородна. Поскольку δ намного меньше, чем A , деформацию можно рассматривать как тонкую оболочку, добавленную к массе Земли, где оболочка имеет поверхностную плотность массы ρ δ (а также может быть отрицательной), где ρ - плотность массы ( если плотность массы неоднородна, то изменение формы планеты создает различия в распределении массы по всей глубине, и это тоже нужно учитывать). Поскольку гравитационный потенциал имеет ту же форму, что и электрический потенциал, это простая задача в электростатике . Для аналогичной электростатической задачи потенциал, создаваемый оболочкой, имеет вид:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}P_{n}(\cos \theta ),\qquad r\leq A}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {A^{2n+1}}{r^{n+1}}}P_{n}(\cos \theta ),\qquad r\geq A}$

где плотность поверхностного заряда пропорциональна скачку градиента потенциала:

${\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)a_{n}A^{n-1}P_{n}(\cos \theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость вакуума , постоянная, относящаяся к электростатике, связанная с уравнением . Аналогичное уравнение для гравитации таково: если плотность заряда заменить на плотность массы, то следует заменить на .${\displaystyle U(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{r}}}$${\displaystyle U(r)=G{\frac {m^{2}}{r}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi G}}}$

Таким образом, в гравитационной задаче мы имеем:

${\displaystyle \rho \sum _{n}\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{4\pi G}}\sum _{n}(2n+1)a_{n}A^{n-1}P_{n}(\cos \theta )}$

Итак, опять же из-за ортогональности многочленов Лежандра:

${\displaystyle a_{n}=4\pi {\frac {G\rho }{(2n+1)A^{n-1}}}\delta _{n}}$

Таким образом, пертурбативный потенциал на единицу массы равен:${\displaystyle r\geq A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&4\pi G\rho A^{n+2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)r^{n+1}}}\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )\\[5pt]={}&3{\frac {GM}{A^{2}}}\sum _{n}{\frac {A^{n+1}}{(2n+1)r^{n+1}}}\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что поскольку плотность массы Земли на самом деле неоднородна, этот результат необходимо умножить на коэффициент, который примерно равен отношению плотности массы выпуклости к средней массе Земли, примерно 0,18. Фактический коэффициент несколько больше, так как есть некоторая деформация и в более глубоких твердых слоях Земли. Обозначим этот множитель через x . Жесткость также снижает x , хотя это менее актуально для большей части выступа, сделанного из морской воды.

Деформация создавалась пертурбативным потенциалом размера . Таким образом, для каждого коэффициента отношение исходного пертурбативного потенциала к вторично созданному деформацией составляет:${\displaystyle {\cal {W}}_{2+}(A)={\frac {GM}{A^{2}}}\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )}$${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$

${\displaystyle c_{n}\equiv {\frac {3x}{2n+1}}}$

с x  = 1 для идеально нежесткой однородной планеты.

Этот вторичный пертурбативный потенциал создает другую деформацию, которая снова создает пертурбативный потенциал и так далее до бесконечности, так что общая деформация имеет размер:

${\displaystyle \sum _{n}\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}^{k}h_{n}P_{n}(\cos \theta )=\sum _{n}{\frac {1}{1-c_{n}}}\delta _{n}P_{n}(\cos \theta )}$

Для каждой моды отношение к δ _n , наивная оценка деформации, обозначается как число Лява . Для совершенно нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земли из несжимаемой жидкости) это равно , а для основного режима n  = 2 это 5/2.${\displaystyle {\frac {1}{1-c_{n}}}}$ ${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle {\frac {2n+1}{2}}}$

Точно так же n -я мода приливного пертурбативного потенциала на единицу массы, созданного Землей при r = A, является числом Лява k _n, умноженным на соответствующий член в исходном лунном приливном пертурбативном потенциале, где для равномерной плотности массы планета с нулевой жесткостью k _n это:

${\displaystyle k_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }c_{n}^{k}={\frac {c_{n}}{1-c_{n}}}}$

Для совершенно нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земли из несжимаемой жидкости) это равно 3/2. Фактически, для основного режима n   2 реальное значение для Земли составляет одну пятую от него, а именно k ₂ = 0,3 ^[34] (что соответствует c ₂ = 0,23 или x = 0,38, что примерно вдвое превышает коэффициент плотности 0,18). .

Расчет крутящего момента [ править ]

Вместо того, чтобы вычислять крутящий момент, оказываемый Луной на деформацию Земли, мы вычисляем обратный крутящий момент, оказываемый деформацией Земли на Луну; оба должны быть равны.

Потенциал, создаваемый выпуклостью Земли, - это пертурбативный потенциал, который мы обсуждали выше. На единицу массы для r = A это то же самое, что и лунный пертурбативный потенциал, создающий выпуклость, с каждой модой, умноженной на k _n , причем  мода n = 2 значительно доминирует над потенциалом. Таким образом, при r  =  A пертурбативный потенциал балджа на единицу массы равен: ^[34]

${\displaystyle {\cal {{U}(r=A,\theta )}}=-Gm\sum _{n=2}^{\infty }k_{n}{\frac {A^{n}}{r_{0}^{n+1}}}P_{n}(\cos \theta )}$

так как n- мода снижается как r ^{- ( n +1)} для r  >  A , то за пределами Земли:

${\displaystyle {\cal {{U}(r,\theta )}}=-Gm\sum _{n=2}^{\infty }k_{n}{\frac {A^{n}}{r_{0}^{n+1}}}{\frac {A^{n}+1}{r^{n+1}}}P_{n}(\cos \theta )}$

Однако на самом деле выпуклость отстает на угол α по отношению к направлению на Луну из-за вращения Земли. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\cal {U}}=-Gm\sum _{n=2}^{\infty }k_{n}{\frac {A^{2n+1}}{r_{0}^{n+1}r^{n+1}}}P_{n}(\cos(\theta -\alpha ))}$

Луна находится при r  =  r ₀ , θ  = 0. Таким образом, потенциал на единицу массы на Луне равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\cal {U}}(r=r_{0},\theta =0)=-Gm\sum _{n=2}^{\infty }k_{n}{\frac {A^{2n+1}}{r_{0}^{2n+2}}}P_{n}(\cos(\alpha )\approx -Gmk_{2}{\frac {A^{5}}{r_{0}^{6}}}P_{2}(\cos \alpha )\\[5pt]={}&-Gmk_{2}{\frac {A^{5}}{r_{0}^{6}}}\cdot {\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}\alpha -1)\end{aligned}}}$

Пренебрегая эксцентриситетом и осевым наклоном, мы получаем крутящий момент, создаваемый выпуклостью на Луне, умножая: на массу Луны m и дифференцируя по θ в месте расположения Луны. Это эквивалентно дифференцированию по α , ^[34] и дает:${\displaystyle {\cal {U}}}$${\displaystyle m{\cal {{U}(r=r_{0},\theta =0)}}}$

${\displaystyle N=m{\frac {d{\cal {U}}(r=r_{0},\theta =0)}{d\alpha }}={\frac {3}{2}}Gm^{2}k_{2}{\frac {A^{5}}{r_{0}^{6}}}\cdot \sin(2\alpha )}$

Это та же формула , используемая выше , при г  =  г ₀ , и к там определяется как 2 K ₂ /3.

См. Также [ править ]

• Приливная блокировка
• Приливная сила
• Приливы
• Приливное отопление

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Рассеивание Луны и возраст системы Земля-Луна
• Приливное нагревание по описанию профессора Вашингтонского университета Тоби Смита