Термины тороидальный и полоидальный относятся к направлениям относительно опорного тора. Полоидальное направление следует за небольшим круговым кольцом вокруг поверхности, в то время как тороидальное направление следует за большим круговым кольцом вокруг тора, окружающим центральную пустоту.
Схема, изображающая полоидальный (
) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное (
или же
) направление, представленное синей стрелкой.
Самое раннее использование этих терминов, процитированных в Оксфордском словаре английского языка (OED), было использовано Уолтером М. Эльзассером (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, причем «тороидальный» параллелен линиям широта и «полоидальная» ориентация магнитного поля (т. е. к полюсам).
OED также записывает более позднее использование этих терминов в контексте плазмы с тороидальным ограничением, которая встречается в термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление - это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается буквой z в слэб-приближении или или же в магнитных координатах; полоидальное направление - это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается буквой y в слэб-приближении илив магнитных координатах. (Третье направление, перпендикулярное магнитным поверхностям, часто называется «радиальным направлением», обозначается x в приближении плиты и по-разному, , г ,, или s в магнитных координатах.)
В качестве простого примера из физики плазмы, удерживаемой магнитным полем, рассмотрим осесимметричную систему с круговыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиуса (грубое приближение к геометрии магнитного поля в раннем токамаке, но топологически эквивалентное любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенными магнитными поверхностями) и обозначим тороидальный угол как а полоидальный угол на . Тогда Тороидальная / Полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами с помощью следующих правил преобразования:
где .
С геометрической точки зрения естественный выбор - взять, давая тороидальное и полоидальное направления, показанные стрелками на рисунке выше, но это делает левосторонняя криволинейная система координат. Как обычно предполагается при настройке координат потока для описания плазмы, удерживаемой магнитным полем, наборобразует правую систему координат,, мы должны либо изменить полоидальное направление, взяв , или измените тороидальное направление, взяв . Оба варианта используются в литературе.
Для изучения движения отдельных частиц в плазменных устройствах с тороидальным ограничением необходимо знать векторы скорости и ускорения. Учитывая естественный выбор, единичные векторы тороидальной и полоидальной систем координат можно выразить как:
по декартовым координатам. Вектор положения выражается как:
Тогда вектор скорости определяется как:
а вектор ускорения: