Ошибки усечения при численном интегрировании бывают двух видов:
- локальные ошибки усечения - ошибка, вызванная одной итерацией, и
- глобальные ошибки усечения - совокупная ошибка, вызванная множеством итераций.
Определения
Предположим, у нас есть непрерывное дифференциальное уравнение
и мы хотим вычислить приближение истинного решения с дискретными временными шагами . Для простоты предположим, что временные шаги равномерно распределены:
Предположим, мы вычисляем последовательность с одношаговым методом формы
Функция называется функцией приращения и может интерпретироваться как оценка наклона.
Ошибка локального усечения
Локальная ошибка усечения ошибка, из-за которой наша функция приращения, , вызывает во время одной итерации при условии полного знания истинного решения на предыдущей итерации.
Более формально локальная ошибка усечения, , на шаге вычисляется из разницы между левой и правой частями уравнения для приращения :
Численный метод является непротиворечивым, если локальная ошибка усечения равна (это означает, что для каждого существует такой, что для всех ; см. небольшие обозначения ). Если функция приращения непрерывна, то метод непротиворечив тогда и только тогда, когда . [3]
Кроме того, мы говорим, что численный метод имеет порядок если для любого достаточно гладкого решения задачи начального значения локальная ошибка усечения равна (это означает, что существуют константы а также такой, что для всех ). [4]
Глобальная ошибка усечения
Глобальная ошибка усечения является накоплением локальной погрешности усечения за все итерации, предполагая совершенное знание истинного решения на начальном этапе времени. [ необходима цитата ]
Более формально, глобальная ошибка усечения, , вовремя определяется:
Численный метод сходится, если глобальная ошибка усечения стремится к нулю, когда размер шага стремится к нулю; другими словами, численное решение сходится к точному решению:. [6]
Связь между локальными и глобальными ошибками усечения
Иногда возможно вычислить верхнюю границу глобальной ошибки усечения, если нам уже известна локальная ошибка усечения. Для этого требуется, чтобы наша функция приращения работала достаточно хорошо.
Глобальная ошибка усечения удовлетворяет рекуррентному соотношению:
Это сразу следует из определений. Теперь предположим, что функция приращения липшицева по второму аргументу, т. Е. Существует константа такое, что для всех а также а также , у нас есть:
Тогда глобальная ошибка удовлетворяет оценке
Из приведенной выше оценки глобальной ошибки следует, что если функция в дифференциальном уравнении непрерывна по первому аргументу и липшицева по второму (условие из теоремы Пикара – Линделёфа ), а функция приращения непрерывна по всем аргументам и липшицева по второму аргументу, то глобальная ошибка стремится к нулю как размер шага стремится к нулю (другими словами, численный метод сходится к точному решению). [8]
Расширение линейных многоступенчатых методов
Теперь рассмотрим линейный многоступенчатый метод , задаваемый формулой
Таким образом, следующее значение численного решения вычисляется согласно
Следующая итерация линейного метода многостадийного зависит от предыдущих з итераций. Таким образом, в определении локальной ошибки усечения теперь предполагается, что все предыдущие s итерации соответствуют точному решению:
Опять же, метод непротиворечив, если и имеет порядок p, если. Не изменилось и определение глобальной ошибки усечения.
Связь между локальными и глобальными ошибками усечения немного отличается от более простой настройки одношаговых методов. Для линейных многошаговых методов требуется дополнительная концепция, называемая нулевой стабильностью, чтобы объяснить связь между локальными и глобальными ошибками усечения. Линейные многоступенчатые методы, удовлетворяющие условию нулевой устойчивости, имеют такое же соотношение между локальными и глобальными ошибками, что и одношаговые методы. Другими словами, если линейный многоступенчатый метод устойчив к нулю и непротиворечив, то он сходится. И если линейный многоступенчатый метод устойчив к нулю и имеет локальную ошибку, то его глобальная ошибка удовлетворяет . [10]
Смотрите также
Заметки
- ^ Гупта, GK; Sacks-Davis, R .; Тишер, ЧП (март 1985 г.). «Обзор последних достижений в решении ODE». Вычислительные обзоры . 17 (1): 5–47. CiteSeerX 10.1.1.85.783 . DOI : 10.1145 / 4078.4079 .
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 317, звонки ошибка усечения.
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 321 и 322
- ^ Iserles 1996 , стр. 8; Süli & Mayers 2003 , стр. 323
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 317
- ^ Iserles 1996 , стр. 5
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 318
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 322
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 337, использует другое определение, деля его по существу на h
- ^ Сули и Майерсом 2003 , стр. 340
Рекомендации
- Изерлес, Ари (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
- Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.