Флексагон

В геометрии флексагоны представляют собой плоские модели, обычно состоящие из сложенных полосок бумаги, которые можно сгибать или складывать определенным образом, чтобы открыть лица помимо двух, которые изначально были сзади и спереди.

Флексагоны обычно квадратные или прямоугольные ( тетрафлексагоны ) или шестиугольные ( гексафлексагоны ). К имени можно добавить префикс, указывающий количество граней, которые может отображать модель, включая две грани (заднюю и переднюю), которые видны до изгиба. Например, гексафлексагон с шестью гранями называется гексагексафлексагоном .

В теории гексафлексагонов (то есть в отношении флексагонов с шестью сторонами) флексагоны обычно определяются в терминах pats . ^{[1] [2]}

Два флексагона эквивалентны, если один можно преобразовать в другой с помощью серии сжатий и вращений. Эквивалентность Flexagon является отношением эквивалентности . ^[1]

Открытие первого флексагона, тригексафлексагона, приписывают британскому математику Артуру Х. Стоуну , когда он был студентом Принстонского университета в США в 1939 году. Его новая американская бумага не помещалась в его английской папке, поэтому он отрезал концы бумаги и начали складывать их в разные формы. ^[3] Один из них сформировал тригексафлексагон. Коллеги Стоуна Брайант Такерман , Ричард Фейнман и Джон Тьюки заинтересовались этой идеей и сформировали Принстонский комитет Flexagon. Такерман разработал топологический метод, названный обходом Такермана, для выявления всех граней флексагона. ^[4]Траверсы Такермана показаны в виде диаграммы.

Флексагоны были представлены широкой публике Мартином Гарднером в декабрьском номере журнала Scientific American за 1956 год в статье, настолько хорошо принятой, что она положила начало колонке Гарднера «Математические игры», которая затем печаталась в этом журнале в течение следующих двадцати пяти лет. ^{[3] [5]} В 1974 году фокусник Дуг Хеннинг включил гексафлексагон «сделай сам» в оригинальную запись актеров своего бродвейского шоу «Волшебное шоу» .

Гексафлексагон, показанный с одной и той же стороной в двух конфигурациях.

Тритетрафлексагон можно сложить из полоски бумаги, как показано на рисунке.

На этой фигуре видны две грани, построенные из квадратов, отмеченных буквами A s и B s. Лицо C s скрыто внутри флексагона.

Траверс тритетрафлексагона

Траверс гексатетрафлексагона

Этот шаблон тригексафлексагона показывает 3 цвета из 9 треугольников, напечатанных на одной стороне и сложенных для раскрашивания с обеих сторон. Два желтых треугольника на концах будут склеены вместе. Красная и синяя дуги выглядят как полные круги на внутренней стороне одной или другой стороны при сгибании.

На рисунках 1-6 показана конструкция гексафлексагона из картонных треугольников на подложке из полоски ткани. Он был оформлен в шести цветах; оранжевый, синий и красный на рисунке 1 соответствуют цифрам 1, 2 и 3 на приведенной выше диаграмме. Противоположная сторона, цифра 2, украшена фиолетовым, серым и желтым цветом. Обратите внимание на разные узоры, используемые для цветов на двух сторонах. На рис. 3 показана первая складка, а на рис. 4 результат первых девяти сгибов, образующих спираль. На рисунках 5-6 показано окончательное складывание спирали в шестиугольник; на 5 два красных лица были скрыты складкой долины, а на 6 два красных лица на нижней стороне были скрыты горной складкой. После рисунка 6 последний незакрепленный треугольник сгибают и прикрепляют к другому концу исходной полосы так, чтобы одна сторона была полностью синей, а другая — оранжевой. На фотографиях 7 и 8 показан процесс выворачивания гексафлексагона, чтобы показать ранее скрытые красные треугольники. Путем дальнейших манипуляций можно выставить все шесть цветов.