Скрученная кривая Эдвардса

В алгебраической геометрии скрученные кривые Эдвардса представляют собой плоские модели эллиптических кривых , обобщение кривых Эдвардса, введенных Бернштейном , Биркнером, Джоем, Ланге и Питерсом в 2008 году. ^[1] Набор кривых назван в честь математика Гарольда М. Эдвардса . Эллиптические кривые важны в криптографии с открытым ключом , а скрученные кривые Эдвардса лежат в основе схемы электронной подписи EdDSA , которая обеспечивает высокую производительность и позволяет избежать проблем с безопасностью, возникающих в других схемах цифровой подписи.

Каждая искривленная кривая Эдвардса является поворотом кривой Эдвардса . Скрученная кривая Эдвардса над полем с представляет собой аффинную плоскую кривую, определяемую уравнением:${\ displaystyle E_ {E_ {a, d}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {К}}$${\ displaystyle \ operatorname {char} (\ mathbb {K}) \ neq 2}$

где различные ненулевые элементы . Частный случай раскручен , так как кривая сводится к обычной кривой Эдвардса .${\ Displaystyle а, д}$${\ Displaystyle \ mathbb {К}}$${\ Displaystyle а = 1}$

Каждая искривленная кривая Эдвардса бирационально эквивалентна эллиптической кривой в форме Монтгомери и наоборот. ^[2]

Что касается всех эллиптических кривых, то и для скрученной кривой Эдвардса между ее точками можно производить некоторые операции, например складывать две из них или удваивать (или утроить) одну. Результатом этих операций всегда являются точки, принадлежащие самой кривой. В следующих разделах приведены некоторые формулы для получения координат точки, полученной в результате сложения двух других точек (сложения), или координаты точки, полученной в результате удвоения одной точки на кривой.

Пусть — поле с характеристикой , отличной от 2. Пусть и — точки на скрученной кривой Эдвардса. Уравнение скрученной кривой Эдвардса записывается как;${\ Displaystyle \ mathbb {К}}$${\ Displaystyle (х_ {1}, у_ {1})}$${\ Displaystyle (х_ {2}, у_ {2})}$

Скрученная кривая уравнения Эдвардса ${\ displaystyle 10x ^ {2} + y ^ {2} = 1 + 6x ^ {2} y ^ {2}}$