Виды сетки

Сетка является представлением большей геометрической области путем небольших дискретных клеток. Сетки обычно используются для вычисления решений уравнений в частных производных и визуализации компьютерной графики , а также для анализа географических и картографических данных. Сетка разделяет пространство на элементы (или ячейки, или зоны).), над которым могут быть решены уравнения, которые затем аппроксимируют решение в большей области. Границы элементов могут быть ограничены внутренними или внешними границами модели. Элементы более высокого качества (имеющие лучшую форму) обладают лучшими числовыми свойствами, при этом то, что составляет «лучший» элемент, зависит от общих управляющих уравнений и конкретного решения экземпляра модели.

Распространенные формы ячеек [ править ]

Двумерный [ править ]

Основные двухмерные формы ячеек

Обычно используются два типа двумерных форм ячеек. Это треугольник и четырехугольник .

Элементы с плохой вычислительной мощностью будут иметь острые внутренние углы, короткие края или и то, и другое.

Треугольник [ править ]

Эта форма ячейки состоит из 3-х сторон и является одним из самых простых типов сетки. Треугольную сетку поверхности всегда легко и быстро создать. Чаще всего встречается в неструктурированных сетках .

Четырехугольник [ править ]

Эта форма ячейки является базовой 4-х сторонней, как показано на рисунке. Чаще всего встречается в структурированных сетках.

Четырехугольные элементы обычно исключаются из состояния или превращения в вогнутые.

Трехмерный [ править ]

Основные трехмерные формы ячеек

Основными трехмерными элементами являются тетраэдр , четырехугольная пирамида , треугольная призма и шестигранник . Все они имеют треугольные и четырехугольные грани.

Выдавленные двухмерные модели могут быть полностью представлены призмами и шестигранниками в виде выдавленных треугольников и четырехугольников.

В общем, четырехугольные грани в 3-х измерениях могут не быть идеально плоскими. Непланарную четырехугольную грань можно рассматривать как тонкий тетраэдрический объем, который разделяют два соседних элемента.

Тетраэдр [ править ]

Тетраэдр имеет 4 вершины, 6 ребер, и ограничен 4 треугольных граней. В большинстве случаев четырехгранная объемная сетка может быть создана автоматически.

Пирамида [ править ]

Пирамида с четырехугольником имеет 5 вершин, 8 ребер, ограниченных 4 треугольными и 1 четырехугольной гранью. Они эффективно используются в качестве переходных элементов между квадратными и треугольными элементами граней и другими элементами в гибридных сетках и сетках.

Треугольная призма [ править ]

Треугольной призмы имеет 6 вершин, 9 ребра, ограниченные 2 треугольных и четырехугольных граней 3. Преимущество этого типа слоя заключается в том, что он эффективно разрешает пограничный слой.

Шестигранник [ править ]

Шестигранники , топологический куб , имеет 8 вершин, 12 ребер, ограниченных 6 четырехугольных граней. Его еще называют шестигранником или кирпичиком . ^[1] При том же количестве ячеек точность решений в гексаэдрических сетках самая высокая.

Зоны пирамиды и треугольной призмы можно рассматривать в расчетах как вырожденные шестигранники, у которых некоторые ребра сведены к нулю. Также могут быть представлены другие вырожденные формы шестигранника.

Расширенные ячейки (многогранник) [ править ]

Полиэдр (двойной) элемент имеет любое число вершин, ребер и граней. Обычно требуется больше вычислительных операций на ячейку из-за количества соседей (обычно 10). ^[2] Хотя это компенсируется точностью расчета.

Классификация сеток [ править ]

Структурированные сетки [ править ]

Структурированные сети идентифицируются регулярным подключением. Возможный выбор элементов: четырехугольник в 2D и шестигранник в 3D. Эта модель очень компактна, поскольку отношения соседства определяются организацией хранения. Некоторые другие преимущества структурированной сетки перед неструктурированной - это лучшая сходимость и более высокое разрешение. ^{[3] [4] [5]}

Неструктурированные сетки [ править ]

Неструктурированной сетки идентифицируется неправильной связи. Его нелегко выразить как двумерный или трехмерный массив в памяти компьютера. Это позволяет использовать любой возможный элемент, который может использовать решатель. По сравнению со структурированными сетками эта модель может быть очень неэффективной по пространству, поскольку требует явного хранения отношений соседства. Эти сетки обычно используют треугольники в 2D и тетраэдрические в 3D.^[6]

Гибридные сетки [ править ]

Гибридная сетка содержит как структурированные, так и неструктурированные части. Он эффективно объединяет структурированные и неструктурированные сетки. Те части геометрии, которые являются регулярными, могут иметь структурированные сетки, а те, которые являются сложными, могут иметь неструктурированные сетки. Эти сетки могут быть неконформными, что означает, что линии сетки не должны совпадать на границах блоков.^[7]

Качество сетки [ править ]

Считается, что сетка имеет более высокое качество, если более точное решение рассчитывается быстрее. Точность и скорость находятся в напряжении. Уменьшение размера сетки всегда увеличивает точность, но также увеличивает вычислительные затраты.

Точность зависит как от ошибки дискретизации, так и от ошибки решения. Для ошибки дискретизации заданная сетка является дискретным приближением пространства и поэтому может обеспечить только приближенное решение, даже если уравнения решены точно. (При трассировке лучей компьютерной графики количество испускаемых лучей является еще одним источником ошибки дискретизации.) Для ошибки решения для УЧП требуется много итераций по всей сетке. Расчет прекращается досрочно, до того, как уравнения будут решены точно. Выбор типа элемента сетки влияет как на дискретизацию, так и на ошибку решения.

Точность зависит как от общего количества элементов, так и от формы отдельных элементов. Скорость каждой итерации растет (линейно) с количеством элементов, а количество необходимых итераций зависит от значения локального решения и градиента по сравнению с формой и размером локальных элементов.

Точность решения [ править ]

Грубая сетка может обеспечить точное решение, если решение является постоянным, поэтому точность зависит от конкретного экземпляра проблемы. Можно выборочно уточнять сетку в областях, где градиенты решения высоки, тем самым повышая точность там. Точность, включая интерполированные значения внутри элемента, зависит от типа и формы элемента.

Скорость конвергенции [ править ]

Каждая итерация уменьшает ошибку между расчетным и истинным решением. Более высокая скорость сходимости означает меньшую ошибку с меньшим количеством итераций.

На сетке низкого качества могут отсутствовать важные элементы, такие как пограничный слой для потока жидкости. Ошибка дискретизации будет большой, и скорость сходимости ухудшится; решение может вообще не сходиться.

Независимость от сети [ править ]

Решение считается независимым от сетки, если дискретизация и ошибка решения достаточно малы при достаточном количестве итераций. Это важно знать для сравнительных результатов. Исследование сходимости сетки состоит из уточнения элементов и сравнения уточненных решений с грубыми решениями. Если дальнейшее уточнение (или другие изменения) существенно не меняют решение, сетка является «независимой сеткой».

Выбор типа сетки [ править ]

Если точность важнее всего, то предпочтительнее использовать шестигранную сетку. Плотность сетки должна быть достаточно высокой, чтобы улавливать все особенности потока, но в то же время она не должна быть настолько высокой, чтобы захватывать ненужные детали потока, таким образом нагружая ЦП и тратя больше времени. Всякий раз, когда присутствует стена, сетка, прилегающая к стене, достаточно мелкая, чтобы разрешить поток пограничного слоя, и, как правило, четырехугольные, шестигранные и призматические ячейки предпочтительнее, чем треугольники, тетраэдры и пирамиды. Квадратные и шестигранные ячейки могут быть растянуты, если поток полностью развит и одномерен.

На основе асимметрии, гладкости и соотношения сторон можно решить, подходит ли сетка.^[8]

Асимметрия [ править ]

Асимметрия сетки является точным показателем качества и пригодности сетки. Большой перекос снижает точность интерполированных областей. Существует три метода определения перекоса сетки.

На основе равностороннего объема [ править ]

Этот метод применим только к треугольникам и тетраэдрам и является методом по умолчанию.

${\ displaystyle {\ text {Skewness}} = {\ frac {\ text {оптимальный размер ячейки - размер ячейки}} {\ text {оптимальный размер ячейки}}}}$

На основе отклонения от нормированного равностороннего угла [ править ]

Этот метод применим ко всем формам ячеек и граней и почти всегда используется для призм и пирамид.

${\displaystyle {\text{ Skewness ( for a quad ) }}=\max {\left[{\frac {\theta _{max}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{min}}{90}}\right]}}$

Равноугольный перекос [ править ]

Другой распространенный критерий качества основан на равноугольном перекосе.

${\displaystyle {\text{ Equiangle Skew }}=\max {\left[{\frac {\theta _{max}-\theta _{e}}{180-\theta _{e}}},{\frac {\theta _{e}-\theta _{min}}{\theta _{e}}}\right]}}$

где:

${\displaystyle \theta _{max}\,}$ это самый большой угол в грани или ячейке,

${\displaystyle \theta _{min}\,}$ это наименьший угол в грани или ячейке,

${\displaystyle \theta _{e}\,}$ - угол для равноугловой грани или ячейки, т.е. 60 для треугольника и 90 для квадрата.

Асимметрия, равная 0, является наилучшей из возможных, а асимметрия, равная единице, почти никогда не является предпочтительной. Для шестнадцатеричных и четырехугольных ячеек асимметрия не должна превышать 0,85, чтобы получить достаточно точное решение.

Для треугольных ячеек перекос не должен превышать 0,85, а для четырехугольных ячеек перекос не должен превышать 0,9.

Гладкость [ править ]

Изменение размера также должно быть плавным. Не должно быть резких скачков размера ячейки, потому что это может привести к ошибочным результатам в соседних узлах.

Соотношение сторон [ править ]

Это отношение самой длинной стороны к самой короткой в ​​ячейке. В идеале он должен быть равен 1 для обеспечения наилучших результатов. Для многомерного потока он должен быть близок к единице. Также локальные вариации в размере ячеек должны быть минимальными, т.е. размеры соседних ячеек не должны отличаться более чем на 20%. Большое соотношение сторон может привести к ошибке интерполяции неприемлемой величины.

Генерация и улучшение сетки [ править ]

См. Также создание сетки и принципы создания сетки . В двух измерениях отражение и сглаживание являются мощными инструментами для адаптации плохой сетки к хорошей. Переворачивание включает объединение двух треугольников в четырехугольник, а затем разделение четырехугольника в другом направлении, чтобы получить два новых треугольника. Переворачивание используется для улучшения таких показателей качества треугольника, как асимметрия. Сглаживание сетки улучшает формы элементов и общее качество сетки, регулируя расположение вершин сетки. При сглаживании сетки основные функции, такие как ненулевой узор линейной системы , сохраняются, поскольку топология сетки остается неизменной. Лапласовское сглаживание - наиболее часто используемый метод сглаживания.

См. Также [ править ]

• Генерация сетки
• Неструктурированная сетка
• Обычная сетка
• Метод растянутой сетки

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Периодическая таблица конечных элементов