Есть ли какое-нибудь трехмерное выпуклое тело с меньшей плотностью упаковки, чем сфера?
Гипотеза Улама об упаковке , названная в честь Станислава Улама , представляет собой гипотезу о максимально возможной плотности упаковки идентичных выпуклых тел в трехмерном евклидовом пространстве . Гипотеза гласит , что плотность оптимальной для упаковки конгруэнтных сферы меньше , чем для любого другого тела выпуклого. То есть, согласно гипотезе, шар представляет собой выпуклое твердое тело, которое заставляет большую часть пространства оставаться пустой в его оптимальной структуре упаковки. Таким образом, эта гипотеза связана с гипотезой Кеплера об упаковке сфер.. Поскольку решение гипотезы Кеплера устанавливает, что одинаковые шары должны оставлять ≈25,95% пространства пустым, гипотеза Улама эквивалентна утверждению, что никакие другие выпуклые твердые тела не заставляют так много места оставаться пустым.
Источник
Это предположение было посмертно приписано Уламу Мартином Гарднером , который отмечает в постскриптуме, добавленном к одной из его колонок « Математические игры», что Улам сообщил ему это предположение в 1972 году. [1] Хотя первоначальная ссылка на гипотезу утверждает только, что Улам «подозревал» «мяч является наихудшим случаем упаковки», - это утверждение впоследствии было воспринято как гипотеза.
Подтверждающие аргументы
Численные эксперименты с большим разнообразием выпуклых тел в каждом случае привели к созданию упаковок, которые оставляют меньше пустого пространства, чем остается при плотной упаковке равных сфер , и такое количество твердых тел было исключено как контрпримеры гипотезы Улама. [2] Тем не менее, существует бесконечное пространство возможных форм, которые нельзя исключать.
Йоав Каллус показал, что по крайней мере среди точечно-симметричных тел шар составляет локальный максимум доли вынужденного пустого пространства. [3] То есть любое точечно-симметричное твердое тело, которое не слишком сильно отклоняется от шара, может быть упаковано с большей эффективностью, чем шары.
Аналоги в других габаритах
Аналог гипотезы Улама об упаковке в двух измерениях говорит о том, что никакая выпуклая форма не заставляет более ≈9,31% плоскости оставаться непокрытой, поскольку это часть пустого пространства, оставшегося незакрытым в самой плотной упаковке дисков . Однако правильный восьмиугольник и сглаженный восьмиугольник дают контрпримеры. Предполагается, что правильные семиугольники заставляют большую часть плоскости оставаться открытой. [4] В размерностях четыре и выше (исключая 8 и 24) ситуация осложняется тем, что аналоги гипотезы Кеплера остаются открытыми.
Рекомендации
- Перейти ↑ Gardner, Martin (1995), New Mathematical Diversions (Revised Edition) , Washington: Mathematical Association of America, p. 251
- ^ де Грааф, Йуст; ван Рой, Рене; Дейкстра, Marjolein (2011), "Плотные регулярные Упаковки нерегулярной невыпуклых частиц", Physical Review Letters , 107 (15): 155501, Arxiv : 1107,0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.107.155501 , PMID 22107298 .
- ^ Каллус, Йоав (2014), «Тройной шар - местный пессимум для упаковки», Успехи в математике , 264 : 355–370, arXiv : 1212.2551 , doi : 10.1016 / j.aim.2014.07.015 , MR 3250288 .
- ^ Kallus, Йоав (2015), "Pessimal упаковочные формы", Геометрия и топология , 19 : 343-363, Arxiv : 1305,0289 , DOI : 10,2140 / gt.2015.19.343 , МР 3318753 .