В математике , ULTRAGRAPH С * -алгебра является универсальным С * -алгебра порождается частичных изометрии на коллекции гильбертовых пространств , построенного из ULTRAGRAPH [1] стр 6-7 . Эти C * -алгебры были созданы для того, чтобы одновременно обобщить классы C * -алгебр графов и алгебр Экселя – Лака, создав единую основу для изучения этих объектов. [1] Это связано с тем, что каждый граф может быть закодирован как ультраграф, и, аналогично, каждый бесконечный граф, дающий алгебры Экселя-Лака, также может быть закодирован как ультраграф.
Определения
Ультраграфы
ULTRAGRAPH состоит из набора вершин , набор ребер , исходная карта , и карта диапазона принимая значения в коллекции набора мощностинепустых подмножеств множества вершин. Ориентированный граф - это частный случай ультраграфа, в котором диапазон каждого ребра является одноэлементным, а ультраграфы можно рассматривать как обобщенный ориентированный граф, в котором каждое ребро начинается с единственной вершины и указывает на непустое подмножество вершин.
Пример
Простой способ визуализировать ультраграф - рассмотреть ориентированный граф с набором помеченных вершин, где каждая метка соответствует подмножеству в изображении элемента карты диапазона. Например, для ультраграфа с вершинами и метками ребер
,
с источником и диапазон карт
можно визуализировать как изображение справа.
Ультраграфические алгебры
Учитывая ультраграф , мы определяем быть наименьшим подмножеством содержащие синглтон-наборы , содержащий наборы диапазонов и закрыты относительно пересечений, объединений и относительных дополнений. Cuntz-Krieger-семейство - это сборник проекцийвместе с набором частичных изометрий с взаимно ортогональными диапазонами, удовлетворяющими
- , , для всех ,
- для всех ,
- в любое время - вершина, из которой состоит конечное число ребер, а
- для всех .
Ультраграф С * -алгебра - универсальная C * -алгебра, порожденная алгеброй Кунца – Кригера. -семья.
Характеристики
Каждая графовая C * -алгебра рассматривается как алгебра ультраграфов, если просто рассматривать граф как частный случай ультраграфа и осознавать, что это совокупность всех конечных подмножеств а также для каждого . Любая алгебра Экселя – Лака также является ультраграфической C * -алгеброй: если бесконечная квадратная матрица с набором индексов и записи в , можно определить ультраграф как , , , а также . Можно показать, что изоморфна алгебре Экселя – Лака . [1]
Ультраграфические C * -алгебры - полезный инструмент для изучения как графовых C * -алгебр, так и алгебр Экселя – Лака. Помимо других преимуществ, моделирование алгебры Экселя – Лака как ультрафиолетовой C * -алгебры позволяет использовать ультраграф в качестве инструмента для изучения связанных C * -алгебр, тем самым предоставляя возможность использовать теоретико-графические методы, а не матричные методы. при изучении алгебры Экселя – Лака. Ультраграфические C * -алгебры использовались, чтобы показать, что любая простая AF-алгебра изоморфна либо графовой C * -алгебре, либо алгебре Экселя – Лака. [2] Они также использовались для доказательства того, что любая AF-алгебра без (ненулевого) конечномерного фактора изоморфна алгебре Экселя – Лака. [2]
Хотя классы C * -алгебр графов, алгебр Экселя – Лака и C * -алгебр ультраграфов содержат каждый из C * -алгебр, не изоморфных какой-либо C * -алгебре в двух других классах, было показано, что эти три класса совпадают к Морита эквивалентности . [3]
Смотрите также
- Алгебра путей Ливитта
- Алгебры Экселя – Лака
- Бесконечная матрица
- Бесконечный граф
Заметки
- ^ a b c Единый подход к алгебрам Экселя – Лака и C * -алгебрам, ассоциированным с графами , Марк Томфорде, J. Теория операторов 50 (2003), вып. 2, 345–368.
- ^ a b Реализация AF-алгебр как алгебр графов, алгебр Экселя – Лака и алгебр ультраграфов , Такеши Кацура, Эйдан Симс и Марк Томфорде, J. Funct. Анальный. 257 (2009), нет. 5, 1589–1620.
- ^ Алгебры графов, алгебры Экселя – Лака и алгебры ультраграфов совпадают с точностью до эквивалентности Мориты , Такеши Кацура, Пол Мухли, Эйдан Симс и Марк Томфорде, Дж. Рейн Энджью. Математика. 640 (2010), 135–165.