Модель Вичека

Модель Вичека - это математическая модель, используемая для описания активного вещества. Одним из мотивов изучения активного вещества физиками является богатая феноменология, связанная с этой областью. Коллективное движение и роение - одни из наиболее изученных явлений. Среди огромного количества моделей, разработанных для выявления такого поведения с помощью микроскопического описания, самой известной является модель, представленная Тамашем Вичеком и др. в 1995 году. ^[1]

Эта модель очень интересна физикам, поскольку она минимальна и описывает своего рода универсальность . Он состоит из точечных самоходных частиц, которые развиваются с постоянной скоростью и выравнивают свою скорость со скоростью своих соседей в присутствии шума. Такая модель показывает коллективное движение при высокой плотности частиц или низком уровне шума при юстировке.

Модель (математическое описание) [ править ]

Поскольку эта модель стремится быть минимальной, она предполагает, что флокирование происходит из-за комбинации любого вида самодвижения и эффективного выравнивания.

Человек описывается его положением и углом, определяющим направление его скорости во времени . Эволюция одной частицы в дискретном времени задается двумя уравнениями: на каждом временном шаге каждый агент выравнивается со своими соседями на расстоянии с неопределенностью из-за шума, такого как${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} _ {я} (т)}$${\ Displaystyle \ Theta _ {я} (т)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle \ eta _ {я} (т)}$

${\ displaystyle \ Theta _ {i} (t + \ Delta t) = \ langle \ Theta _ {j} \ rangle _ {| r_ {i} -r_ {j} | <r} + \ eta _ {i} ( t)}$

и движется с постоянной скоростью в новом направлении:${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t + \ Delta t) = \ mathbf {r} _ {i} (t) + v \ Delta t {\ begin {pmatrix} \ cos \ Theta _ {i} (t) \\\ sin \ Theta _ {i} (t) \ end {pmatrix}}}$

Вся модель контролируется тремя параметрами: плотностью частиц, амплитудой шума при юстировке и отношением пройденного расстояния к дальности взаимодействия . На основе этих двух простых итерационных правил были разработаны различные непрерывные теории ^[2] , такие как теория Тонера Ту ^[3], которая описывает систему на гидродинамическом уровне. Была разработана кинетическая теория, подобная Энскогу, которая справедлива при произвольной плотности частиц. ^[4] Эта теория количественно описывает образование крутых волн плотности, также называемых волнами вторжения, вблизи перехода к коллективному движению. ^[5]${\ displaystyle v \ Delta t}$${\ displaystyle r}$

Феноменология [ править ]

Эта модель показывает фазовый переход ^[6] от неупорядоченного движения к крупномасштабному упорядоченному движению. При большом шуме или низкой плотности частицы в среднем не выровнены, и их можно описать как неупорядоченный газ. При низком уровне шума и большой плотности частицы глобально выровнены и движутся в одном направлении ( коллективное движение ). Это состояние интерпретируется как упорядоченная жидкость. Переход между этими двумя фазами не является непрерывным, в действительности фазовая диаграмма системы демонстрирует фазовый переход первого рода с микрофазным разделением. В области сосуществования жидкие полосы конечных размеров ^[7]выходят в газовую среду и движутся в поперечном направлении. Недавно была обнаружена новая фаза: полярно-упорядоченная фаза волн плотности на пересечении морей с заданным углом пересечения. ^[8] Эта спонтанная организация частиц олицетворяет коллективное движение .

Расширения [ править ]

С момента своего появления в 1995 году эта модель стала очень популярной в физическом сообществе; многие ученые работали над этим и расширяли его. Например, можно выделить несколько классов универсальности из простых аргументов симметрии, касающихся движения частиц и их ориентации. ^[9]

Более того, в реальных системах многие параметры могут быть включены для более реалистичного описания, например, притяжение и отталкивание между агентами (частицы конечного размера), хемотаксис (биологические системы), память, неидентичные частицы, окружающая жидкость. .

Более простая теория, модель Активного Изинга, ^[10] была разработана для облегчения анализа модели Вичека.

Ссылки [ править ]