Эффект Фойгта

Схема полярного эффекта Керра, продольного эффекта Керра и эффекта Фойгта

Эффект Фойгта - это магнитооптическое явление, которое вращает и преобразует линейно поляризованный свет в оптически активную среду. ^[1] В отличие от многих других магнитооптических эффектов, таких как эффект Керра или Фарадея, которые линейно пропорциональны намагниченности (или приложенному магнитному полю для немагнитного материала), эффект Фойгта пропорционален квадрату намагниченности ( или квадрат магнитного поля ) и могут быть обнаружены экспериментально при нормальном падении. В литературе есть несколько наименований этого эффекта: эффект Коттона – Мутона (со ссылкой на французских ученых Эме Коттон и Анри Мутона.), эффект Фойгта (со ссылкой на немецкого ученого Вольдемара Фойгта ) и магнитно-линейное двулучепреломление . Это последнее обозначение ближе в физическом смысле, где эффект Фойгта представляет собой магнитное двулучепреломление материала с показателем преломления, параллельным ( ) и перпендикулярным ) вектору намагниченности или приложенному магнитному полю. ${\ displaystyle n _ {\ parallel}}$ ${\ Displaystyle (п _ {\ перп}}$

Для падающей электромагнитной волны с линейной поляризацией и образца с плоской поляризацией выражение вращения в геометрии отражения имеет вид: ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ $\delta \beta$

\delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]

а в геометрии трансмиссии:

\quad \delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}

,

где - разность показателей преломления, зависящая от параметра Фойгта ( такая же, как для эффекта Керра), показателей преломления материала и параметра, ответственного за эффект Фойгта, и поэтому пропорциональна или в случае парамагнитного материала. $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ $n_{0}$ $B_{1}$ $M^{2}$ $(\mu _{0}H)^{2}$

Подробный расчет и иллюстрация приведены в разделах ниже.

Теория [ править ]

Каркас и система координат для вывода эффекта Фойгта. , и относятся к падающему, отраженному и прошедшему электромагнитному полю.

{\vec {E}}_{i}

{\vec {E}}_{r}

{\vec {E}}_{t}

Как и в случае с другими магнитооптическими эффектами, теория развивается стандартным образом с использованием эффективного диэлектрического тензора, на основе которого вычисляются собственные значения и собственные векторы системы. Как обычно, из этого тензора магнитооптические явления описываются в основном недиагональными элементами.

Здесь рассматривается падающая поляризация, распространяющаяся в направлении z: электрическое поле и однородно намагниченный в плоскости образец, где отсчет ведется от кристаллографического направления [100]. Цель состоит в том, чтобы вычислить, где происходит вращение поляризации из-за связи света с намагниченностью. Заметим, что экспериментально это малая величина порядка мрад. приведенная вектор намагниченности определяется , намагниченности при насыщении. Мы подчеркнули, что именно потому, что вектор распространения света перпендикулярен плоскости намагничивания, можно увидеть эффект Фойгта. ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ $\phi$ ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ $\delta \beta$ $\delta \beta$ ${\vec {m}}$ ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ $M_{s}$

Диэлектрический тензор [ править ]

Следуя обозначениям Гильберта, ^[2] обобщенный диэлектрический кубический тензор принимает следующий вид: $\epsilon _{r}$

(1)\qquad \epsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}

где - диэлектрическая проницаемость материала, параметр Фойгта и две кубические константы, описывающие магнитооптический эффект в зависимости от . это сокращение . Расчет производится в сферическом приближении с . В настоящий момент ^[^когда?^] нет никаких доказательств того, что это приближение неверно, поскольку эффект Фойгта наблюдается редко, поскольку он чрезвычайно мал по сравнению с эффектом Керра. $\epsilon$ $Q$ $B_{1}$ $B_{2}$ $m_{i}^{2}$ $m_{i}$ $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ $B_{1}=B_{2}$

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Чтобы вычислить собственные значения и собственные векторы, мы рассматриваем уравнение распространения, полученное из уравнений Максвелла, с условием . : ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$

(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\epsilon {\vec {E}}

Когда намагниченность перпендикулярна волновому вектору распространения, в отличие от эффекта Керра, все его три компонента могут быть равны нулю, что значительно усложняет вычисления и делает уравнения Френельса недействительными. Один из способов упростить задачу состоит в использовании вектора смещения электрического поля . Так и у нас . Неудобно иметь дело с обратным тензором диэлектрической проницаемости, с которым может быть сложно работать. Здесь вычисления производятся в общем случае, который математически сложно обрабатывать, однако можно легко проследить демонстрацию путем рассмотрения . ${\vec {E}}$ ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ $\phi =0$

Собственные значения и собственные векторы находятся путем решения уравнения распространения, которое дает следующую систему уравнений: ${\vec {D}}$

(3)\quad \left\{{\begin{matrix}(\epsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\epsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\epsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{matrix}}\right.

где представляет собой обратный элемент тензора диэлектрической проницаемости , а . После прямого вычисления детерминанта системы необходимо выполнить развитие 2-го порядка и первого порядка . Это привело к двум собственным значениям, соответствующим двум показателям преломления:

\epsilon _{ij}^{-1}

ij

\epsilon _{r}

n^{2}=\epsilon

Q

B_{1}

n_{\parallel }^{2}=\epsilon +B_{1}

n_{\perp }^{2}=\epsilon (1-Q^{2})

Соответствующие собственные векторы для и для : ${\vec {D}}$ ${\vec {E}}$

(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}

Отражающая геометрия [ править ]

Отношение непрерывности [ править ]

Зная собственные векторы и собственные значения внутри материала, необходимо вычислить отраженный электромагнитный вектор, обычно обнаруживаемый в экспериментах. Мы используем уравнения неразрывности для и где индукция определяется из уравнений Максвелла с помощью . Внутри среды электромагнитное поле раскладывается на производные собственные векторы . Система уравнений, которую необходимо решить: ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ ${\vec {E}}$ ${\vec {H}}$ ${\vec {H}}$ ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$

(5)\quad \left\{{\begin{matrix}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{matrix}}\right.

Решением этой системы уравнений являются:

(6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}

(7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}

Расчет угла поворота [ править ]

Угол поворота и угол эллиптичности определяются из соотношения по двум следующим формулам: $\delta \beta$ $\psi$ $\chi =E_{ry}/E_{rx}$

(8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},

где и представляют собой действительную и мнимую части . Используя два ранее рассчитанных компонента, получаем: $\operatorname {Re} (\chi )$ $\operatorname {Im} (\chi )$ $\chi$

(10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).

Это дает для вращения Фойгта:

(11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],

который тоже можно переписать в случае , и реальный:

B_{1}

n_{0}

Q

(12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],

где - разность показателей преломления. Следовательно, получается нечто пропорциональное и зависящее от падающей линейной поляризации. В самом деле, вращения Фойгта не наблюдается. пропорциональна квадрату намагниченности, поскольку и .

\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}

\Delta n

\phi -\beta

\Delta n

B_{1}\propto M_{s}^{2}

Q\propto M_{s}

Геометрия трансмиссии [ править ]

Расчет вращения эффекта Фойгта при прохождении в принципе эквивалентен вычислению эффекта Фарадея. На практике эта конфигурация обычно не используется для ферромагнитных образцов, поскольку длина поглощения в материалах такого типа мала. Однако использование геометрии пропускания более распространено для парамагнитных жидкостей или кристаллов, где свет может легко проходить внутри материала.

Расчет для парамагнитного материала точно такой же, как и для ферромагнитного, за исключением того, что намагниченность заменяется полем ( в или ). Для удобства поле будет добавлено в конце расчета в магнитооптические параметры. $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ $H_{0}$ $A/m$ $G$

Рассмотрим передаваемые электромагнитные волны, распространяющиеся в среде длиной L. Из уравнения (5) получаем для и : ${\vec {E}}_{t}$ $\alpha$ $\beta$

\alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}

\beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}

В позиции z = L выражение :

{\vec {E}}_{t}

(13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}

где и - собственные векторы, вычисленные ранее, а - разность двух показателей преломления. Затем на основе отношения вычисляется вращение с развитием в первом порядке и во втором порядке . Это дает :

{\vec {E}}_{\parallel }

{\vec {E}}_{\perp }

\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}

\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}

B_{1}

Q

(14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}

Снова мы получаем нечто пропорциональное и , длине распространения света. Заметим, что это пропорционально точно так же по отношению к геометрии в отражении для намагниченности. Для того , чтобы извлечь вращение Фойгта, мы считаем , и реальные. Затем нам нужно вычислить действительную часть (14). Полученное выражение затем вставляется в (8). В приближении отсутствия поглощения для вращения Фойгта в геометрии передачи получаем: $\Delta n$ $L$ $\Delta n$ $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ $n_{0}=\eta +i~\kappa$ $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ $B_{1}$

(15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}

Иллюстрация эффекта Фойгта в GaMnAs [ править ]

Рис. 1: а) Экспериментальный цикл гистерезиса на плоском образце (Ga, Mn) As. Б) Цикл гистерезиса Фойгта, полученный путем извлечения симметричной части (а). в) Продольный Керр, полученный путем выделения асимметричной части (а)

Рис. 2: a) Механизм переключения образца в плоскости (Ga, Mn) As для магнитного поля, приложенного вдоль оси [1-10] при 12 К. b) Сигнал Фойгта, смоделированный от механизма, показанного на a)

В качестве иллюстрации применения эффекта Фойгта мы приводим пример в магнитном полупроводнике (Ga, Mn) As, где наблюдался большой эффект Фойгта. ^[3] При низких температурах (как правило ) для материала с намагниченностью в плоскости (Ga, Mn) As проявляет двухосную анизотропию с намагниченностью, ориентированной вдоль (или близкой к) направлениям <100>. $T<{\frac {T_{c}}{2}}$

Типичный цикл гистерезиса, содержащий эффект Фойгта, показан на рисунке 1. Этот цикл был получен путем посылки линейно поляризованного света вдоль направления [110] с углом падения приблизительно 3 ° (более подробную информацию можно найти в ^[4] ), и измерение вращения из-за магнитооптических эффектов отраженного светового луча. В отличие от обычного продольного / полярного эффекта Керра, цикл гистерезиса является равномерным по отношению к намагниченности, что является признаком эффекта Фойгта. Этот цикл был получен при падении света, очень близком к нормальному, и он также имеет небольшую странную часть; необходимо провести правильную обработку, чтобы выделить симметричную часть гистерезиса, соответствующую эффекту Фойгта, и асимметричную часть, соответствующую продольному эффекту Керра.

В случае гистерезиса, представленного здесь, поле прикладывалось в направлении [1-10]. Механизм переключения следующий:

Мы начинаем с сильного отрицательного поля, и намагниченность близка к направлению [-1-10] в позиции 1.
Магнитное поле уменьшается, что приводит к когерентному вращению намагниченности от 1 до 2
При положительном поле намагниченность резко переключается с 2 на 3 за счет зарождения и распространения магнитных доменов, давая первое коэрцитивное поле, названное здесь $H_{1}$
Намагниченность остается близкой к состоянию 3, когерентно вращаясь к состоянию 4, ближе от направления приложенного поля.
Снова намагниченность резко переключается с 4 на 5 за счет зарождения и распространения магнитных доменов. Это переключение происходит из-за того, что конечное положение равновесия находится ближе от состояния 5 по отношению к состоянию 4 (и поэтому его магнитная энергия ниже). Это дает еще одно принудительное поле с именем $H_{2}$
Наконец, намагниченность когерентно вращается из состояния 5 в состояние 6.

Моделирование этого сценария показано на рисунке 2, где

\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}

.

Как видно, смоделированный гистерезис качественно не отличается от экспериментального. Nottice , что амплитуда в или приблизительно в два раза из $H_{1}$ $H_{2}$ $P_{\text{Voigt}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Звездин, Анатолий Константинович (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Современная магнитооптика и магнитооптические материалы: исследования в конденсированных средах , ISBN 978-0-7503-03620.
Перейти ↑ Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetic domains , ISBN 978-3-540-85054-0.
^ Кимель (2005). «Наблюдение гигантского магнитного линейного дихроизма в (Ga, Mn) As». Письма с физическим обзором . 94 (22): 227203. Bibcode : 2005PhRvL..94v7203K . DOI : 10.1103 / physrevlett.94.227203 . ЛВП : 2066/32798 . PMID 16090433 . .
^ Шихаб (2015). «Систематическое исследование зависимости спиновой жесткости от легирования фосфором в ферромагнитном полупроводнике (Ga, Mn) As» (PDF) . Письма по прикладной физике . 106 (14): 142408. Bibcode : 2015ApPhL.106n2408S . DOI : 10.1063 / 1.4917423 . .

Дальнейшее чтение [ править ]

Чжао, Чжун-Цюань. Атомарные линейные фильтры возбужденного состояния . Проверено 26 марта 2006 года.

[1] Звездин, Анатолий Константинович (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Современная магнитооптика и магнитооптические материалы: исследования в конденсированных средах , ISBN 978-0-7503-03620.

[2] Перейти ↑ Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetic domains , ISBN 978-3-540-85054-0.

[3] Кимель (2005). «Наблюдение гигантского магнитного линейного дихроизма в (Ga, Mn) As». Письма с физическим обзором . 94 (22): 227203. Bibcode : 2005PhRvL..94v7203K . DOI : 10.1103 / physrevlett.94.227203 . ЛВП : 2066/32798 . PMID 16090433 . .

[4] Шихаб (2015). «Систематическое исследование зависимости спиновой жесткости от легирования фосфором в ферромагнитном полупроводнике (Ga, Mn) As» (PDF) . Письма по прикладной физике . 106 (14): 142408. Bibcode : 2015ApPhL.106n2408S . DOI : 10.1063 / 1.4917423 . .

[1]