число Уильямса

---

В теории чисел база чисел Вильямса b — это натуральное число формы для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1. ^[1] Числа Вильямса с основанием 2 — это в точности числа Мерсенна .${\ Displaystyle (б-1) \ cdot б ^ {п} -1}$

Число Вильямса второго рода по основанию b — это натуральное число вида для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, простое число Вильямса второго рода — это число Вильямса второго рода, которое является простым. Простые числа Вильямса второго рода по основанию 2 — это в точности простые числа Ферма .${\ Displaystyle (б-1) \ cdot б ^ {п} +1}$

По состоянию на сентябрь 2018 ^{[Обновить]}года наибольшее известное простое число Вильямса второго рода по основанию 3 равно 2×3 ^1175232 +1. ^[4]

Число Вильямса третьего рода по основанию b — это натуральное число вида для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, числа Вильямса третьего рода по основанию 2 — это в точности числа Табита . Простое число Вильямса третьего рода — это число Вильямса третьего рода, которое является простым.${\ Displaystyle (Ь + 1) \ cdot Ь ^ {п} -1}$

Число Вильямса четвертого рода по основанию b — натуральное число вида для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, простое число Вильямса четвертого рода — это число Вильямса четвертого рода, являющееся простым, таких простых чисел не существует для .${\ Displaystyle (Ь + 1) \ cdot Ь ^ {п} +1}$${\ Displaystyle б \ экв 1 {\ bmod {3}}}$

Предполагается, что для любого b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) по основанию b , бесконечно много простых чисел Вильямса второго рода по основанию b и бесконечно много простых чисел Вильямса третьего рода по основанию б . Кроме того, если b не равно 1 mod 3, то существует бесконечно много простых чисел Вильямса четвертого рода по основанию b .

---