Без потери общности (часто сокращается до WOLOG , WLOG [1] или wlog ; реже указывается как без потери общности или без потери общности ) — часто используемое выражение в математике . Этот термин используется для обозначения того, что следующее допущение выбрано произвольно, сужая предпосылку до конкретного случая, но не влияет на достоверность доказательства в целом. Остальные случаи достаточно похожи на представленный, поэтому их доказательство следует по существу той же логике. [2] В результате, как только дано доказательство для конкретного случая, становится тривиальнымадаптировать его для доказательства вывода во всех других случаях.
Во многих сценариях использование «без потери общности» возможно благодаря наличию симметрии . [3] Например, если известно, что некоторое свойство P ( x , y ) действительных чисел симметрично относительно x и y , а именно, что P ( x , y ) эквивалентно P ( y , x ), то при доказательстве того, что P ( x , y ) выполняется для любых x и y , можно предположить «без ограничения общности», чтох ≤ у . В этом предположении нет ограничения общности, поскольку после того, как случай x ≤ y ⇒ P ( x , y ) будет доказан, другой случай следует заменой x и y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), и по симметрии P отсюда следует P ( x , y ), тем самым показывая, что P ( x , y ) выполняется для всех случаев.
С другой стороны, если такая симметрия (или иная форма эквивалентности) не может быть установлена, то использование «без ограничения общности» некорректно и может приравниваться к экземпляру доказательства на примере — логическая ошибка доказательства утверждения. путем доказательства нерепрезентативного примера. [4]
Если каждый из трех предметов окрашен в красный или синий цвет, то должно быть как минимум два предмета одного цвета.
Предположим без ограничения общности, что первый объект красный. Если любой из двух других объектов красный, то мы закончили; если нет, то два других объекта должны быть синими, и мы все равно закончим.
Вышеупомянутый аргумент работает, потому что то же самое рассуждение можно было бы применить, если бы было сделано альтернативное предположение, а именно, что первый объект синий, или, аналогично, что слова «красный» и «синий» могут быть свободно заменены местами в формулировке доказательства. В результате в данном случае правомерно использование «без ограничения общности».