Измерение в квантовой механике

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой физике , измерение является тестирование или манипуляция физической системы , с тем, получая численный результат. Предсказания, которые делает квантовая физика, в целом вероятностные . Математические инструменты для прогнозирования возможных результатов измерений были разработаны в 20 веке и используют линейную алгебру и функциональный анализ .

Квантовая физика оказалась эмпирическим успехом и имеет широкое применение. Однако на более философском уровне продолжаются споры о значении концепции измерения.

Математический формализм [ править ]

«Наблюдаемые» как самосопряженные операторы [ править ]

In quantum mechanics, each physical system is associated with a Hilbert space. The approach codified by John von Neumann represents a measurement upon a physical system by a self-adjoint operator on that Hilbert space termed an “observable”.^[1]:17 These observables play the role of measurable quantities familiar from classical physics: position, momentum, energy, angular momentum and so on. The dimension of the Hilbert space may be infinite, as it is for the space of square-integrable functionsна линии, которая используется для определения квантовой физики непрерывной степени свободы. В качестве альтернативы гильбертово пространство может быть конечномерным, как это происходит для спиновых степеней свободы. Многие трактовки теории сосредоточены на конечномерном случае, поскольку математика требует меньше усилий. Действительно, вводные тексты по квантовой механике часто замалчивают математические технические детали, которые возникают для непрерывнозначных наблюдаемых и бесконечномерных гильбертовых пространств, такие как различие между ограниченными и неограниченными операторами ; вопросы сходимости (принадлежит ли предел последовательности элементов гильбертова пространства также гильбертову пространству), экзотические возможности для наборов собственных значений, такие какКанторовские наборы ; и так далее. ^{[2] : 79 [3]} Эти вопросы можно удовлетворительно разрешить с помощью спектральной теории ; ^{[2] : 101} в настоящей статье их будет по возможности избегать.

Прогнозно-оценочные показатели (ПВМ) [ править ]

Собственные векторы наблюдаемой фон Неймана образуют ортонормированный базис для гильбертова пространства, и каждый возможный результат этого измерения соответствует одному из векторов, составляющих базис. Оператор плотности является положительным полуопределенным оператором в гильбертовом пространстве, след равен 1. ^{[1] [2]} Для каждого измерения , которые могут быть определены, то распределение вероятности по результатам этого измерения может быть вычислены из оператора плотности . Для этого используется правило Борна , которое гласит, что

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

где - оператор плотности, а - оператор проекции на базисный вектор, соответствующий результату измерения . Среднее значение собственных значений наблюдаемой фон Неймана, взвешенное по вероятностям правила Борна, представляет собой математическое ожидание этой наблюдаемой. Для наблюдаемого математическое ожидание при квантовом состоянии равно${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

Оператор плотности, который является проекцией ранга 1, известен как чистое квантовое состояние, и все квантовые состояния, которые не являются чистыми, называются смешанными . Чистые состояния также известны как волновые функции . Присвоение чистого состояния квантовой системе подразумевает уверенность в результате некоторого измерения в этой системе (т. Е. Для некоторого результата ). Любое смешанное состояние можно записать как выпуклую комбинацию чистых состояний, но не единственным способом . ^[4] пространство состояний квантовой системы является множество всех состояний, чистых и смешанных, которые могут быть отнесены к нему.${\displaystyle P(x)=1}$${\displaystyle x}$

Правило Борна связывает вероятность с каждым единичным вектором в гильбертовом пространстве таким образом, что сумма этих вероятностей равна 1 для любого набора единичных векторов, составляющих ортонормированный базис. Более того, вероятность, связанная с единичным вектором, является функцией оператора плотности и единичного вектора, а не дополнительной информации, такой как выбор базиса для этого вектора, который должен быть встроен в. Теорема Глисона устанавливает обратное: все присвоения вероятностей для единичные векторы (или, что то же самое, проектирующие на них операторы), удовлетворяющие этим условиям, принимают форму применения правила Борна к некоторому оператору плотности. ^{[5] [6] [7]}

Положительные оценки для операторов (POVM) [ править ]

В функциональном анализе и квантовой теории измерения положительно-операторная мера (POVM) - это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением PVM и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM. Грубо говоря, POVM для PVM - это то же самое, что смешанное состояние для чистого состояния . Смешанные состояния необходимы, чтобы указать состояние подсистемы более крупной системы (см. Очистку квантового состояния); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективных измерений, выполняемых в более крупной системе. POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[8] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице , ^{[9] : 90}${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

В квантовой механике элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении измерения квантового состояния определяется выражением${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

где - оператор трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Изменение состояния из-за измерения [ править ]

Измерение квантовой системы обычно вызывает изменение квантового состояния этой системы. Написание POVM не дает полной информации, необходимой для описания этого процесса изменения состояния. ^{[10] : 134} Чтобы исправить это, дополнительная информация указывается путем разложения каждого элемента POVM на продукт:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Операторы Крауса , названные в честь Карла Крауса , обеспечивают спецификацию процесса изменения состояния. ^[a] Они не обязательно являются самосопряженными, но продукты являются. Если после выполнения измерения результат получен, то начальное состояние обновляется до${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Важным частным случаем является правило Людерса, названное в честь Герхарта Людерса . ^{[16] [17]} Если POVM сама является PVM, то операторы Крауса можно рассматривать как проекторы на собственные подпространства наблюдаемой фон Неймана:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Если начальное состояние чистое, и проекторы имеют ранг 1, их можно записать как проекторы на векторы и , соответственно. Формула упрощается до${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Исторически это было известно как «сокращение волнового пакета» или « коллапс волновой функции ». Чистое состояние подразумевает предсказание с вероятностью один для любой наблюдаемой фон Неймана, имеющей собственный вектор. Вводные тексты по квантовой теории часто выражают это, говоря, что если квантовое измерение повторяется в быстрой последовательности, тот же результат будет иметь место оба раза. Это чрезмерное упрощение, поскольку физическая реализация квантового измерения может включать в себя такой процесс, как поглощение фотона; после измерения фотон не существует для повторного измерения. ^{[9] : 91}${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$

Мы можем определить линейную, сохраняющую след, полностью положительную карту , суммируя все возможные состояния POVM после измерения без нормализации:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Это пример квантового канала , ^{[10] : 150,} и его можно интерпретировать как выражение того, как квантовое состояние изменяется, если измерение выполняется, но результат этого измерения теряется. ^{[10] : 159}

Примеры [ править ]

Представление состояний сферой Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначной дискриминации квантовых состояний ^[18] на состояниях и . Отметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны.${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Прототипным примером конечномерного гильбертова пространства является кубит , квантовая система, гильбертово пространство которой двумерно. Чистое состояние для кубита можно записать как линейную комбинацию двух ортогональных базисных состояний и с комплексными коэффициентами:${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Измерение в базисе даст результат с вероятностью и результат с вероятностью , поэтому путем нормализации${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Произвольное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые составляют основу самосопряженных матриц: ^{[10] : 126}${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

где действительные числа - это координаты точки внутри единичного шара и${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Элементы POVM могут быть представлены аналогичным образом, хотя след элемента POVM не фиксируется равным 1. Матрицы Паули не имеют следов и ортогональны друг другу относительно внутреннего произведения Гильберта – Шмидта , поэтому координаты состояния являются ожидаемые значения трех измерений фон Неймана, определенных матрицами Паули. ^{[10] : 126} Если такое измерение применяется к кубиту, то по правилу Людерса состояние обновится до собственного вектора этой матрицы Паули, соответствующего результату измерения. Собственные векторы являются базисными состояниями и , а измерение часто называют измерением в «вычислительной базе». ^[10]${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$^{: 76} После измерения в вычислительном базисе, исход или измерения является максимально неопределенным.${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Пара кубитов вместе образуют систему, гильбертово пространство которой 4-мерно. Одним из важных измерений фон Неймана на этой системе является то , что определяется основе Bell , ^{[19] : 36} набор из четырех максимально перепутанных состояний:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Плотность вероятности результата измерения положения с учетом собственного состояния энергии одномерного гармонического осциллятора.${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle |n\rangle }$

Распространенным и полезным примером квантовой механики, применяемой к непрерывной степени свободы, является квантовый гармонический осциллятор . ^{[20] : 24} Эта система определяется гамильтонианом

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

где , то оператор импульса и оператор позиции самосопряжены операторы в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на вещественной прямой . Собственные состояния энергии решают не зависящее от времени уравнение Шредингера :${\displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Эти собственные значения можно показать как

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

и эти значения дают возможные численные результаты измерения энергии на осцилляторе. Набор возможных результатов измерения положения на гармоническом осцилляторе является непрерывным, и поэтому прогнозы выражаются в терминах функции плотности вероятности, которая дает вероятность результата измерения, лежащего в бесконечно малом интервале от до .${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$

История концепции измерения [ править ]

«Старая квантовая теория» [ править ]

The old quantum theory is a collection of results from the years 1900–1925^[21] which predate modern quantum mechanics. The theory was never complete or self-consistent, but was rather a set of heuristic corrections to classical mechanics.^[22] The theory is now understood as a semi-classical approximation^[23] to modern quantum mechanics.^[24] Notable results from this period include Planck's calculation of the blackbody radiation spectrum, Einstein's explanation of the photoelectric effect, Einstein and Debye's work on the specific heat of solids, Bohr and van Leeuwen's proof that classical physics cannot account for diamagnetism, Bohr's model of the hydrogen atom and Arnold Sommerfeld's extension of the Bohr model to include relativistic effects.

The Stern–Gerlach experiment, proposed in 1921 and implemented in 1922,^[25][26][27] became a prototypical example of a quantum measurement having a discrete set of possible outcomes. In the original experiment, silver atoms were sent through a spatially varying magnetic field, which deflected them before they struck a detector screen, such as a glass slide. Particles with non-zero magnetic moment are deflected, due to the magnetic field gradient, from a straight path. The screen reveals discrete points of accumulation, rather than a continuous distribution,^[25] owing to their quantized spin.^[28][29]

Переход к «новой» квантовой теории [ править ]

Статья Гейзенберга 1925 года , известная на английском языке как « Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений », ознаменовала поворотный момент в развитии квантовой физики. ^[30] Гейзенберг стремился разработать теорию атомных явлений, основанную только на «наблюдаемых» величинах. В то время, в отличие от более позднего стандартного представления квантовой механики, Гейзенберг не считал положение электрона, связанного внутри атома, «наблюдаемым». Вместо этого его основными интересующими величинами были частоты света, излучаемого или поглощаемого атомами. ^[30]

К этому периоду относится принцип неопределенности . Его часто приписывают Гейзенбергу, который ввел эту концепцию в анализ мысленного эксперимента, в котором пытаются одновременно измерить положение и импульс электрона . Однако Гейзенберг не дал точных математических определений того, что означает «неопределенность» в этих измерениях. Точная математическая формулировка принципа неопределенности положения-импульса принадлежит Кеннарду , Паули и Вейлю , а его обобщение на произвольные пары некоммутирующих наблюдаемых принадлежит Робертсону и Шредингеру . ^{[31] [32]}

Написав и для самосопряженных операторов, представляющих позицию и импульс, соответственно, стандартное отклонение позиции можно определить как${\displaystyle {x}}$${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

и то же самое для импульса:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

Соотношение неопределенностей Кеннарда – Паули – Вейля имеет вид

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Это неравенство означает, что никакая подготовка квантовой частицы не может предполагать одновременно точные предсказания для измерения положения и измерения количества движения. ^[33] Неравенство Робертсона обобщает это на случай произвольной пары самосопряженных операторов и . Коммутатор этих двух операторов${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

и это обеспечивает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Подставляя в каноническое коммутационное соотношение выражение, впервые постулированное Максом Борном в 1925 г. ^[34], восстанавливает утверждение Кеннарда – Паули – Вейля о принципе неопределенности.${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

От неопределенности к отсутствию скрытых переменных [ править ]

Существование принципа неопределенности естественным образом поднимает вопрос о том, можно ли понимать квантовую механику как приближение к более точной теории. Существуют ли « скрытые переменные », более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы сделать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория? Набор результатов, в первую очередь теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой.

Белл опубликовал теорему, теперь известную под его именем, в 1964 году, более глубоко исследуя мысленный эксперимент, первоначально предложенный в 1935 году Эйнштейном , Подольским и Розеном . ^{[35] [36]} Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, измеримым образом. Если тест Белла проводится в лаборатории, а результаты нетаким образом ограниченные, то они несовместимы с гипотезой о существовании локальных скрытых переменных. Такие результаты подтверждают позицию о том, что нет способа объяснить явления квантовой механики с точки зрения более фундаментального описания природы, которое больше соответствует правилам классической физики . Многие типы тестов Белла проводились в физических лабораториях, часто с целью решения проблем экспериментального дизайна или установки, которые в принципе могли повлиять на достоверность результатов более ранних тестов Белла. Это известно как «закрытие лазеек в тестовых экспериментах Белла ». На сегодняшний день тесты Белла показали, что гипотеза о локальных скрытых переменных несовместима с тем, как ведут себя физические системы. ^{[37] [38]}

Квантовые системы как измерительные приборы [ править ]

Принцип неопределенности Робертсона-Шредингера устанавливает, что, когда две наблюдаемые не коммутируют, между ними возникает компромисс в предсказуемости. Теорема Вигнера – Араки – Янасе демонстрирует еще одно следствие некоммутативности: наличие закона сохранения ограничивает точность, с которой наблюдаемые, которые не коммутируют с сохраняющейся величиной, могут быть измерены. ^{[39] [40] [41] [42]} Дальнейшие исследования в этом направлении привели к формулировке информации о перекосе Вигнера – Янасе . ^[43]

Исторически эксперименты в квантовой физике часто описывались в полуклассических терминах. Например, спин атома в эксперименте Штерна – Герлаха можно рассматривать как квантовую степень свободы, в то время как атом рассматривается как движущийся в магнитном поле, описываемом классической теорией уравнений Максвелла . ^{[2] : 24} Но устройства, используемые для создания экспериментального оборудования, сами по себе являются физическими системами, и поэтому квантовая механика также должна быть применима к ним. Начиная с 1950-х годов Розенфельд , фон Вайцзеккер и другие пытались разработать условия согласованности, которые выражались в том, что квантово-механическую систему можно рассматривать как измерительный прибор.^[44] Одно предложение по критерию, касающемуся того, когда система, используемая как часть измерительного устройства, может быть смоделирована полуклассическим образом, основывается на функции Вигнера , распределении квазивероятностей, которое можно рассматривать как распределение вероятностей на фазовом пространстве в тех случаях, когда оно присутствует везде неотрицательный. ^{[2] : 375}

Декогеренция [ править ]

Квантовое состояние для несовершенно изолированной системы обычно будет развиваться, чтобы запутаться с квантовым состоянием для окружающей среды. Следовательно, даже если начальное состояние системы является чистым, состояние в более позднее время, найденное путем взятия частичного следа совместного состояния системы и среды, будет смешанным. Этот феномен запутанности, вызванный взаимодействиями системы и окружающей среды, имеет тенденцию затемнять более экзотические особенности квантовой механики, которые система могла бы в принципе проявить. Квантовая декогеренция, как называют этот эффект, впервые была подробно изучена в 1970-х годах. ^[45] (Earlier investigations into how classical physics might be obtained as a limit of quantum mechanics had explored the subject of imperfectly isolated systems, but the role of entanglement was not fully appreciated.^[44]) A significant portion of the effort involved in quantum computing is to avoid the deleterious effects of decoherence.^[46][19]:239

To illustrate, let ${\displaystyle \rho _{S}}$ denote the initial state of the system, ${\displaystyle \rho _{E}}$ the initial state of the environment and ${\displaystyle H}$ the Hamiltonian specifying the system-environment interaction. The density operator ${\displaystyle \rho _{E}}$ can be diagonalized and written as a linear combination of the projectors onto its eigenvectors:

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Expressing time evolution for a duration ${\displaystyle t}$ by the unitary operator ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$, the state for the system after this evolution is

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

which evaluates to

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

The quantities surrounding ${\displaystyle \rho _{S}}$ can be identified as Kraus operators, and so this defines a quantum channel.^[45]

Specifying a form of interaction between system and environment can establish a set of "pointer states," states for the system that are (approximately) stable, apart from overall phase factors, with respect to environmental fluctuations. A set of pointer states defines a preferred orthonormal basis for the system's Hilbert space.^[2]:423

Quantum information and computation[edit]

Квантовая информатика изучает, как информатика и ее применение в качестве технологии зависят от квантово-механических явлений. Понимание измерения в квантовой физике важно для этой области во многих отношениях, некоторые из которых кратко рассматриваются здесь.

Измерение, энтропия и различимость [ править ]

Энтропии фон Неймана является мерой статистической неопределенности , представленной квантового состояния. Для оператора плотности энтропия фон Неймана равна${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

запись на основе собственных векторов,${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

энтропия фон Неймана равна

${\displaystyle S(\rho )=-\sum \lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

This is the Shannon entropy of the set of eigenvalues interpreted as a probability distribution, and so the von Neumann entropy is the Shannon entropy of the random variable defined by measuring in the eigenbasis of ${\displaystyle \rho }$. Consequently, the von Neumann entropy vanishes when ${\displaystyle \rho }$ is pure.^[10]:320 The von Neumann entropy of ${\displaystyle \rho }$ can equivalently be characterized as the minimum Shannon entropy for a measurement given the quantum state ${\displaystyle \rho }$, with the minimization over all POVMs with rank-1 elements.^[10]:323

Many other quantities used in quantum information theory also find motivation and justification in terms of measurements. For example, the trace distance between quantum states is equal to the largest difference in probability that those two quantum states can imply for a measurement outcome:^[10]:254

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

Similarly, the fidelity of two quantum states, defined by

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

expresses the probability that one state will pass a test for identifying a successful preparation of the other. The trace distance provides bounds on the fidelity via the Fuchs–van de Graaf inequalities:^[10]:274

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Quantum circuits[edit]

Quantum circuits are a model for quantum computation in which a computation is a sequence of quantum gates followed by measurements.^[19]:93 The gates are reversible transformations on a quantum mechanical analog of an n-bit register. This analogous structure is referred to as an n-qubit register. Measurements, drawn on a circuit diagram as stylized pointer dials, indicate where and how a result is obtained from the quantum computer after the steps of the computation are executed. Without loss of generality, можно работать со стандартной схемной моделью, в которой набор вентилей представляет собой однокубитовые унитарные преобразования и управляемые вентили НЕ на парах кубитов, а все измерения находятся в вычислительной базе. ^{[19] : 93 [47]}

Квантовые вычисления на основе измерений [ править ]

Основанные на измерениях квантовые вычисления (MBQC) - это модель квантовых вычислений, в которой ответ на вопрос, неофициально говоря, создается в процессе измерения физической системы, которая служит компьютером. ^{[19] : 317 [48] [49]}

Квантовая томография [ править ]

Quantum state tomography is a process by which, given a set of data representing the results of quantum measurements, a quantum state consistent with those measurement results is computed.^[50] It is named by analogy with tomography, the reconstruction of three-dimensional images from slices taken through them, as in a CT scan. Tomography of quantum states can be extended to tomography of quantum channels^[50] and even of measurements.^[51]

Quantum metrology[edit]

Квантовая метрология - это использование квантовой физики для помощи в измерении величин, которые, как правило, имели значение в классической физике, например, использование квантовых эффектов для повышения точности, с которой можно измерить длину. ^[52] Знаменитым примером является введение сжатого света в эксперимент LIGO , что повысило его чувствительность к гравитационным волнам . ^{[53] [54]}

Лабораторные реализации [ править ]

The range of physical procedures to which the mathematics of quantum measurement can be applied is very broad.^[55] In the early years of the subject, laboratory procedures involved the recording of spectral lines, the darkening of photographic film, the observation of scintillations, finding tracks in cloud chambers, and hearing clicks from Geiger counters.^[b] Language from this era persists, such as the description of measurement outcomes in the abstract as "detector clicks".^[57]

Эксперимент двухщелевой является прототипом иллюстрацией квантовой интерференции , как правило , описывается с помощью электронов или фотонов. Первым интерференционным экспериментом, который должен был быть проведен в режиме, в котором важны как волновые, так и частицоподобные аспекты поведения фотонов, был тест Г. И. Тейлора в 1909 году. Тейлор использовал экраны из дымчатого стекла для ослабления света, проходящего через его устройство. до такой степени, что, говоря современным языком, только один фотон будет освещать щели интерферометра за раз. Он записал интерференционные картины на фотопластинки; для самого тусклого света время выдержки составляло примерно три месяца. ^{[58] [59]}В 1974 году итальянские физики Пьер Джорджо Мерли, Джан Франко Миссироли и Джулио Поцци провели эксперимент с двумя щелями, используя одиночные электроны и телевизионную трубку . ^[60] Четверть века спустя группа из Венского университета провела интерференционный эксперимент с бакиболами , в котором бакиболлы, прошедшие через интерферометр, были ионизированы лазером , а затем ионы вызвали эмиссию электронов. в свою очередь усиливались и детектировались электронным умножителем . ^[61]

Modern quantum optics experiments can employ single-photon detectors. For example, in the "BIG Bell test" of 2018, several of the laboratory setups used single-photon avalanche diodes. Another laboratory setup used superconducting qubits.^[37] The standard method for performing measurements upon superconducting qubits is to couple a qubit with a resonator in such a way that the characteristic frequency of the resonator shifts according to the state for the qubit, and detecting this shift by observing how the resonator reacts to a probe signal.^[62]

Interpretations of quantum mechanics[edit]

Despite the consensus among scientists that quantum physics is in practice a successful theory, disagreements persist on a more philosophical level. Many debates in the area known as quantum foundations concern the role of measurement in quantum mechanics. Recurring questions include which interpretation of probability theory is best suited for the probabilities calculated from the Born rule; and whether the apparent randomness of quantum measurement outcomes is fundamental, or a consequence of a deeper deterministic process.^[63][64][65] Worldviews that present answers to questions like these are known as "interpretations" of quantum mechanics; as the physicist N. David Merminкак-то пошутил: «Новые интерпретации появляются каждый год. Ни одна не исчезает». ^[66]

Центральным вопросом в рамках квантовых основ является « проблема квантового измерения », хотя то, как эта проблема разграничена, и следует ли считать ее одним вопросом или несколькими отдельными проблемами, является спорным вопросом. ^{[56] [67]} Главный интерес представляет кажущееся несоответствие между явно разными типами временной эволюции. Фон Нейман заявил, что квантовая механика содержит «два принципиально разных типа» изменения квантового состояния. ^{[68] : §V.1} First, there are those changes involving a measurement process, and second, there is unitary time evolution in the absence of measurement. The former is stochastic and discontinuous, writes von Neumann, and the latter deterministic and continuous. This dichotomy has set the tone for much later debate.^[69][70] Some interpretations of quantum mechanics find the reliance upon two different types of time evolution distasteful and regard the ambiguity of when to invoke one or the other as a deficiency of the way quantum theory was historically presented.^[71]Чтобы поддержать эти интерпретации, их сторонники работали, чтобы найти способы рассматривать «измерение» как вторичное понятие и вывести, казалось бы, стохастический эффект процессов измерения как приближения к более фундаментальной детерминированной динамике. Однако среди сторонников правильного способа реализации этой программы и, в частности, обоснования использования правила Борна для расчета вероятностей не было достигнуто консенсуса. ^{[72] [73]} Другие интерпретации рассматривают квантовые состояния как статистическую информацию о квантовых системах, таким образом утверждая, что резкие и прерывистые изменения квантовых состояний не являются проблемой, а просто отражают обновления доступной информации. ^{[55] [74]} Об этой мысли Белл asked, "Whose information? Information about what?"^[71] Answers to these questions vary among proponents of the informationally-oriented interpretations.^[64][74]

See also[edit]

• Einstein's thought experiments
• Holevo's theorem
• Quantum error correction
• Quantum limit
• Quantum logic
• Quantum Zeno effect
• Schrödinger's cat
• SIC-POVM

Notes[edit]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Измерение в квантовой механике

• Джон А. Уиллер и Войцех Хуберт Зурек , ред. (1983). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08316-2.CS1 maint: extra text: authors list (link)
• Владимир Б. Брагинский и Фарид Я. Халили (1992). Квантовое измерение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-41928-4.
• Джордж С. Гринштейн и Артур Г. Зайонц (2006). Квантовая задача: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). ISBN 978-0763724702.