Старая квантовая теория

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Старая квантовая теория представляет собой совокупность результатов от лет 1900-1925 ^[1] , которые предшествуют современную квантовую механику . Теория никогда не была полной или непротиворечивой, а скорее представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . ^[2] Теория теперь понимается как полуклассическое приближение ^[3] к современной квантовой механике. ^[4]

Основным инструментом старой квантовой теории было условие квантования Бора – Зоммерфельда, процедура выделения определенных состояний классической системы в качестве разрешенных: тогда система может существовать только в одном из разрешенных состояний, а не в каком-либо другом.

История [ править ]

Старая квантовая теория была инициирована работой Макса Планка 1900 года по излучению и поглощению света и всерьез зародилась после работы Альберта Эйнштейна о теплоемкости твердых тел. Эйнштейн, а затем Дебай применили квантовые принципы к движению атомов, объяснив аномалию теплоемкости.

В 1913 году Нильс Бор определил принцип соответствия и использовать его , чтобы сформулировать модель из атома водорода , который объяснил линейный спектр . В следующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Лоренцем и Эйнштейном. Зоммерфельд внес решающий вклад ^[5] , квантовав z-компоненту углового момента , что в старые квантовые времена называлось пространственным квантованием.(Richtungsquantelung). Это позволило орбитам электрона быть эллипсами вместо окружностей и ввело понятие квантового вырождения . Теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , за исключением вопроса о спине электрона . Модель Зоммерфельда была намного ближе к современной квантово-механической картине, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и вплоть до 1920-х годов многие проблемы решались с использованием старой квантовой теории с неоднозначными результатами. Были изучены спектры молекулярного вращения и колебаний, и был обнаружен спин электрона, что привело к путанице с полуцелыми квантовыми числами. Макс Планк ввел нулевую энергию, а Арнольд Зоммерфельд полуклассически квантовал релятивистский атом водорода. Хендрик Крамерс объяснил эффект Старка . Бозе и Эйнштейн дали правильную квантовую статистику для фотонов.

Крамерс дал рецепт для вычисления вероятностей переходов между квантовыми состояниями в терминах фурье-компонентов движения, идеи, которые были расширены в сотрудничестве с Вернером Гейзенбергом до полуклассического матричного описания вероятностей атомных переходов. Гейзенберг переформулировал всю квантовую теорию в терминах версии этих матриц перехода, создав матричную механику .

В 1924 году Луи де Бройль представил волновую теорию материи, которая вскоре была расширена до полуклассического уравнения для волн материи Альбертом Эйнштейном. В 1926 году Эрвин Шредингер нашел полностью квантово-механическое волновое уравнение, которое воспроизводило все успехи старой квантовой теории без двусмысленностей и противоречий. Волновая механика Шредингера развивалась отдельно от матричной механики, пока Шредингер и другие не доказали, что эти два метода предсказывают одинаковые экспериментальные последствия. Позже в 1926 году Поль Дирак доказал, что оба метода могут быть получены из более общего метода, называемого теорией преобразований .

В 1950-х Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 г. ^[6], теперь известную как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем из интегралов по путям . ^[7]

Основные принципы [ править ]

Основная идея старой квантовой теории состоит в том, что движение в атомной системе квантовано или дискретно. Система подчиняется классической механике, за исключением того, что не все движения разрешены, а только те движения, которые подчиняются условию квантования :

${\ displaystyle \ oint \ limits _ {H (p, q) = E} p_ {i} \, dq_ {i} = n_ {i} h}$

где - импульсы системы, а - соответствующие координаты. Квантовые числа являются целыми числами, а интеграл берется за один период движения с постоянной энергией (как описано гамильтонианом ). Интеграл - это площадь в фазовом пространстве, величина, называемая действием, квантованная в единицах (нередуцированной) постоянной Планка . По этой причине постоянную Планка часто называли квантом действия .${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle n_ {i}}$

Чтобы старое квантовое условие имело смысл, классическое движение должно быть отделимым, что означает наличие отдельных координат, по которым движение является периодическим. Периоды различных движений не обязательно должны быть одинаковыми, они могут даже быть несоизмеримыми, но должен быть набор координат, в котором движение распадается многопериодическим образом.${\ displaystyle q_ {i}}$

Мотивом для старых квантовых условий был принцип соответствия , дополненный физическим наблюдением, что квантованные величины должны быть адиабатическими инвариантами . Учитывая правило квантования Планка для гармонического осциллятора, любое условие определяет правильную классическую величину для квантования в общей системе с точностью до аддитивной константы.

Это условие квантования часто называют как правило Вильсона-Зоммерфельда , ^[8] предложен независимо друг от друга Уильяма Уилсона ^[9] и Арнольд Зоммерфельд. ^[10]

Примеры [ править ]

Тепловые свойства гармонического осциллятора [ править ]

Простейшей системой в старой квантовой теории является гармонический осциллятор , гамильтониан которого имеет вид:

${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over 2m} + {m \ omega ^ {2} q ^ {2} \ over 2}.}$

Старая квантовая теория дает рецепт квантования уровней энергии гармонического осциллятора, который в сочетании с распределением вероятностей Больцмана термодинамики дает правильное выражение для запасенной энергии и теплоемкости квантового осциллятора как при низких, так и при обычных температурах. Примененный в качестве модели теплоемкости твердых тел, это разрешило несоответствие в доквантовой термодинамике, которое беспокоило ученых XIX века. Давайте теперь опишем это.

Наборы уровней H - это орбиты, а квантовое условие состоит в том, что площадь, ограниченная орбитой в фазовом пространстве, является целым числом. Отсюда следует, что энергия квантуется согласно правилу Планка:

${\ Displaystyle Е = п \ бар \ омега, \,}$

результат, который был известен задолго до этого и использовался для формулировки старого квантового условия. Этот результат отличается от результатов, полученных с помощью квантовой механики. Эта константа не учитывается при выводе старой квантовой теории , и ее значение не может быть определено с ее помощью.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega}$

Тепловые свойства квантованного осциллятора могут быть найдены путем усреднения энергии в каждом из дискретных состояний, предполагая, что они заняты весом Больцмана :

${\ displaystyle U = {\ sum _ {n} \ hbar \ omega ne ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} \ over \ sum _ {n} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega}} = {\ hbar \ omega e ^ {- \ beta \ hbar \ omega} \ over 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}}, \; \; \; {\ rm {where}} \; \; \ beta = {\ frac {1} {kT}},}$

kT - постоянная Больцмана, умноженная на абсолютную температуру , которая является температурой, измеренной в более естественных единицах энергии. Величина является более фундаментальной в термодинамике, чем температура, потому что это термодинамический потенциал, связанный с энергией.${\ displaystyle \ beta}$

Из этого выражения легко видеть, что при больших значениях и очень низких температурах средняя энергия U в гармоническом осцилляторе стремится к нулю очень быстро, экспоненциально быстро. Причина в том, что kT - это типичная энергия случайного движения при температуре T , а когда она меньше, чем , то энергии недостаточно, чтобы дать осциллятору хотя бы один квант энергии. Таким образом, осциллятор остается в своем основном состоянии, практически не накапливая энергии.${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ hbar \ omega}$

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии относительно бета или, что эквивалентно, изменение энергии относительно температуры, также экспоненциально мало. Изменение энергии по отношению к температуре - это удельная теплоемкость , поэтому удельная теплоемкость экспоненциально мала при низких температурах, стремясь к нулю, как

${\ Displaystyle \ ехр (- \ hbar \ omega / kT)}$

При малых значениях , при высоких температурах средняя энергия U равна . Это воспроизводит теорему о равнораспределении классической термодинамики: каждый гармонический осциллятор при температуре T имеет в среднем энергию kT . Это означает, что теплоемкость осциллятора постоянна в классической механике и равна  k . Для набора атомов, связанных пружинами, разумной модели твердого тела, общая удельная теплоемкость равна сумме общего количества осцилляторов, умноженной на  k${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle 1 / \ beta = kT}$. Всего существует три осциллятора для каждого атома, соответствующих трем возможным направлениям независимых колебаний в трех измерениях. Таким образом, удельная теплоемкость классического твердого тела всегда равна 3 кОм на атом, или, в химических единицах, 3 R на моль атомов.

Одноатомные твердые тела при комнатной температуре имеют примерно одинаковую удельную теплоемкость 3 К на атом, но при низких температурах этого не происходит. Удельная теплоемкость меньше при более низких температурах и стремится к нулю при абсолютном нуле. Это верно для всех материальных систем, и это наблюдение называется третьим законом термодинамики . Классическая механика не может объяснить третий закон, потому что в классической механике теплоемкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и удельной теплотой холодных материалов было отмечено Джеймсом Клерком Максвеллом в 19 ​​веке и оставалось глубокой загадкой для тех, кто защищал атомную теорию материи. Эйнштейн решил эту проблему в 1906 году, предложив квантовать движение атомов. Это было первое приложение квантовой теории к механическим системам. Некоторое время спустя Питер Дебай дал количественную теорию удельной теплоемкости твердого тела в терминах квантованных осцилляторов с различными частотами (см. Твердое тело Эйнштейна и модель Дебая ).

Одномерный потенциал: U = 0 [ править ]

Одномерные задачи легко решить. При любой энергии E значение импульса p находится из уравнения сохранения:

${\displaystyle {\sqrt {2m(E-U(q))}}=p}$

которая интегрируется по всем значениям q между классическими точками поворота , местами, где импульс обращается в нуль. Интеграл проще всего для частицы в ящике длиной L , где квантовое условие таково:

${\displaystyle 2\int _{0}^{L}p\,dq=nh}$

что дает допустимые импульсы:

${\displaystyle p={nh \over 2L}}$

и уровни энергии

${\displaystyle E_{n}={p^{2} \over 2m}={n^{2}h^{2} \over 8mL^{2}}}$

Одномерный потенциал: U = Fx [ править ]

Другой простой случай, который можно решить с помощью старой квантовой теории, - это линейный потенциал на положительной полуоси, постоянная удерживающая сила F, связывающая частицу с непроницаемой стенкой. Этот случай намного сложнее при полном квантовомеханическом рассмотрении, и, в отличие от других примеров, полуклассический ответ здесь не точный, а приблизительный, становясь более точным при больших квантовых числах.

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}\ dx=nh}$

так что квантовое условие

${\displaystyle {4 \over 3}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \over F}=nh}$

который определяет уровни энергии,

${\displaystyle E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}}$

В частном случае F = mg, частица удерживается гравитационным потенциалом Земли, и «стеной» здесь является поверхность Земли.

Одномерный потенциал: U = ½kx² [ править ]

Этот случай также легко решается, и полуклассический ответ здесь согласуется с квантовым с точностью до энергии основного состояния. Его интеграл условий квантования равен

${\displaystyle 2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)}}\ dx=nh}$

с раствором

${\displaystyle E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega }$

для угловой частоты колебаний , как и ранее.${\displaystyle \omega }$

Ротатор [ править ]

Еще одна простая система - ротатор. Вращатель состоит из массы M на конце безмассового жесткого стержня длиной R и в двух измерениях имеет лагранжиан:

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}}$

который определяет , что угловой момент J сопряжен с , с полярным углом , . Старое квантовое условие требует, чтобы J, умноженный на период, был целым числом, кратным постоянной Планка:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle J=MR^{2}{\dot {\theta }}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\pi J=nh\,}$

угловой момент должен быть целым кратным . В модели Бора этого ограничения на круговые орбиты было достаточно для определения уровней энергии.${\displaystyle \hbar }$

В трех измерениях жесткий ротатор можно описать двумя углами - и , где - наклон относительно произвольно выбранной оси z, а - угол поворота в проекции на плоскость x - y . Кинетическая энергия снова является единственным вкладом в лагранжиан:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta ){\dot {\phi }})^{2}\,}$

И сопряженные импульсы равны и . Уравнение движения для тривиально: - постоянная:${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}}$${\displaystyle p_{\phi }=\sin(\theta )^{2}{\dot {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle p_{\phi }}$

${\displaystyle p_{\phi }=l_{\phi }\,}$

которая является z- компонентой углового момента. Квантовое условие требует, чтобы интеграл постоянной as от 0 до был целым кратным h :${\displaystyle l_{\phi }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle l_{\phi }=m\hbar \,}$

И m называется магнитным квантовым числом , потому что z- компонента углового момента - это магнитный момент вращателя вдоль направления z в случае, когда частица на конце вращателя заряжена.

Поскольку трехмерный ротатор вращается вокруг оси, общий угловой момент должен быть ограничен так же, как и двумерный ротатор. Два квантовых условия ограничивают полный угловой момент и z- компоненту углового момента целыми числами l , m . Это условие воспроизводится в современной квантовой механике, но в эпоху старой квантовой теории оно привело к парадоксу: как можно квантовать ориентацию углового момента относительно произвольно выбранной оси z ? Кажется, это указывает направление в космосе.

Это явление, квантование углового момента вокруг оси, было названо пространственным квантованием , потому что оно казалось несовместимым с инвариантностью вращения. В современной квантовой механике угловой момент квантуется таким же образом, но дискретные состояния с определенным угловым моментом в любой одной ориентации являются квантовыми суперпозициями состояний в других ориентациях, так что процесс квантования не выделяет предпочтительную ось. По этой причине название «пространственное квантование» вышло из употребления, и то же самое явление теперь называют квантованием углового момента.

Атом водорода [ править ]

Угловая часть атома водорода является просто вращателем и дает квантовые числа l и m . Единственная оставшаяся переменная - это радиальная координата, которая выполняет периодическое одномерное потенциальное движение, которое может быть решено.

При фиксированном значении полного углового момента L гамильтониан классической задачи Кеплера имеет вид (единица массы и единица энергии, переопределенные для поглощения двух констант):

${\displaystyle H={p_{r}^{2} \over 2}+{l^{2} \over 2r^{2}}-{1 \over r}.}$

Фиксируя энергию как (отрицательную) константу и решая для радиального импульса , интеграл квантовых условий имеет вид:${\displaystyle p_{r}}$

${\displaystyle \oint {\sqrt {2E-{l^{2} \over r^{2}}+{2 \over r}}}\ dr=kh}$

которое может быть решено методом вычетов, ^[5] и дает новое квантовое число, которое определяет энергию в сочетании с . Энергия:${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle E=-{1 \over 2(k+l)^{2}}}$

и это зависит только от суммы k и l , которая является главным квантовым числом n . Поскольку k положительно, допустимые значения l для любого заданного n не больше n . Энергии воспроизводят энергии в модели Бора, за исключением правильных квантово-механических множеств, с некоторой неоднозначностью при экстремальных значениях.

Полуклассический атом водорода называется моделью Зоммерфельда , и его орбиты представляют собой эллипсы разного размера с дискретными наклонами. Модель Зоммерфельда предсказывала, что магнитный момент атома, измеренный вдоль оси, будет принимать только дискретные значения, результат, который, кажется, противоречит вращательной инвариантности, но подтвержден экспериментом Штерна-Герлаха . Эта теория Бора – Зоммерфельда - важный шаг в развитии квантовой механики. Он также описывает возможность разделения уровней энергии атомов магнитным полем (так называемый эффект Зеемана).

Релятивистская орбита [ править ]

Арнольд Зоммерфельд вывел релятивистское решение уровней энергии атомов. ^[5] Мы начнем этот вывод ^[11] с релятивистского уравнения для энергии в электрическом потенциале

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

После подстановки получаем${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

Для импульса , и их соотношения уравнения движения (см Бинет уравнение )${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K}$

с раствором

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

Угловой сдвиг перицентра за оборот определяется выражением

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

С квантовыми условиями

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

и

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

мы получим энергию

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1}$

где - постоянная тонкой структуры . Это решение (с заменой квантовых чисел) эквивалентно решению уравнения Дирака . ^[12] Тем не менее, оба решения не могут предсказать сдвиги Лэмба .${\displaystyle \alpha }$

Волны де Бройля [ править ]

В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия квантованных осцилляторов электромагнитного поля в ящике для короткой длины волны равна энтропии газа точечных частиц в том же ящике. Количество точечных частиц равно количеству квантов. Эйнштейн пришел к выводу, что кванты можно рассматривать, как если бы они были локализуемыми объектами (см. ^[13] стр. 139/140), частицами света. Сегодня мы называем их фотонами (имя, придуманное Гилбертом Н. Льюисом в письме в Nature . ^{[14] [15] [16]} )

Теоретические аргументы Эйнштейна были основаны на термодинамике , на подсчете числа состояний, и поэтому не были полностью убедительными. Тем не менее, он пришел к выводу, что свет имеет атрибуты как волн, так и частиц , точнее, электромагнитной стоячей волны с частотой с квантованной энергией:${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle E=n\hbar \omega \,}$

следует рассматривать как состоящий из n фотонов, каждый с энергией . Эйнштейн не мог описать, как фотоны связаны с волной.${\displaystyle \hbar \omega }$

Эти фотоны имеют импульс, а также энергию, и импульс должен был быть , где это волновое число электромагнитной волны. Это требуется по теории относительности, потому что импульс и энергия образуют четырехвектор , как и частота и волновое число.${\displaystyle \hbar k}$${\displaystyle k}$

В 1924 году, как кандидат наук Луи де Бройль предложил новую интерпретацию квантового состояния. Он предположил, что вся материя, как электроны, так и фотоны, описываются волнами, подчиняющимися соотношениям.

${\displaystyle p=\hbar k}$

или, выражаясь вместо этого через длину волны ,${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle p={h \over \lambda }}$

Затем он отметил, что квантовое условие:

${\displaystyle \int p\,dx=\hbar \int k\,dx=2\pi \hbar n}$

считает изменение фазы волны по мере ее движения по классической орбите и требует, чтобы оно было целым кратным . Выраженное в длинах волн, количество длин волн вдоль классической орбиты должно быть целым числом. Это условие конструктивной интерференции, и оно объясняет причину квантованных орбит - волны материи создают стоячие волны только на дискретных частотах, при дискретных энергиях.${\displaystyle 2\pi }$

Например, для частицы, заключенной в ящик, стоячая волна должна соответствовать целому числу длин волн между удвоенными расстояниями между стенками. Условие становится:

${\displaystyle n\lambda =2L\,}$

так что квантованные импульсы равны:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}}}$

воспроизведение старых квантовых уровней энергии.

Этому развитию математическая форма была придана Эйнштейном, который отметил, что фазовая функция для волн в механической системе должна быть отождествлена ​​с решением уравнения Гамильтона – Якоби, уравнения , которое даже Уильям Роуэн Гамильтон считал кратким -длина волны своего рода волновой механики XIX века. Затем Шредингер нашел собственное волновое уравнение, которое соответствовало уравнению Гамильтона-Якоби для фазы, это знаменитое уравнение .${\displaystyle \theta (J,x)}$

Матрица перехода Крамерса [ править ]

Старая квантовая теория была сформулирована только для специальных механических систем, которые можно было разделить на периодические переменные угла действия. Он не касался излучения и поглощения излучения. Тем не менее, Хендрик Крамерс смог найти эвристику для описания того, как следует рассчитывать излучение и поглощение.

Крамерс предположил, что орбиты квантовой системы должны быть проанализированы Фурье, разложены на гармоники, кратные частоте орбиты:

${\displaystyle X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{n;k}}$

Индекс n описывает квантовые числа орбиты, в модели Зоммерфельда это было бы n - l - m . Частота - это угловая частота орбиты, а k - индекс моды Фурье. Бор предположил, что k-я гармоника классического движения соответствует переходу с уровня n на уровень n - k .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2\pi /T_{n}}$

Крамерс предположил, что переход между состояниями был аналогичен классическому излучению, которое происходит на частотах, кратных частотам орбиты. Скорость испускания излучения пропорциональна , как это было бы в классической механике. Описание было приблизительным, так как компоненты Фурье не имели частот, точно совпадающих с энергетическими расстояниями между уровнями.${\displaystyle |X_{k}|^{2}}$

Эта идея привела к развитию матричной механики.

Ограничения [ править ]

Старая квантовая теория имела некоторые ограничения: ^[17]

• Старая квантовая теория не дает возможности вычислить интенсивности спектральных линий.
• Он не может объяснить аномальный эффект Зеемана (т.е. когда спином электрона нельзя пренебречь).
• Он не может квантовать «хаотические» системы, т.е. динамические системы, в которых траектории не являются ни замкнутыми, ни периодическими, и чья аналитическая форма не существует. Это представляет проблему для таких простых систем, как атом с двумя электронами, который классически хаотичен, аналогично известной гравитационной задаче трех тел .

Однако его можно использовать для описания атомов с более чем одним электроном (например, гелия) и эффекта Зеемана. ^[18] Позднее было высказано предположение, что старая квантовая теория на самом деле является полуклассическим приближением канонической квантовой механики ^[19], но ее ограничения все еще исследуются.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Тьюлис, Дж., Изд. (1962). Энциклопедический словарь физики .
• Паис, Авраам (1982). "Статистическая интерпретация квантовой механики Максом Борном" (PDF) . Наука . 218 (4578): 1193–8. Bibcode : 1982Sci ... 218.1193P . DOI : 10.1126 / science.218.4578.1193 . PMID  17802457 .Выступление на ежегодном собрании Оптического общества Америки 21 октября 1982 г. (Тусон, Аризона). Проверено 8 сентября 2013.
• Планк, Макс (1922). Зарождение и развитие квантовой теории . Перевод Silberstein, L .; Кларк, HT Оксфорд: Clarendon Press.