Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
В начале или середине 1990-х типичные комбинаторные объекты, которые рассматривались в алгебраической комбинаторике, либо имели большое число общепризнанных симметрий (схема отношений[англ.], сильно регулярные графы, частично упорядоченные множества с действием группы), либо обладали богатой алгебраической структурой, как правило, имеющей теоретические источники (симметрические функции, диаграммы Юнга). Этот период отражён в разделе 05E, «Алгебраическая комбинаторика», математической предметной классификации AMS, предложенной в 1991 году.
Алгебраическую комбинаторику можно рассматривать как область математики, где взаимодействие комбинаторных и алгебраических методов особенно сильно и существенно. Такими комбинаторными темами могут быть перечисления по свойствам или области, вовлекающие матроиды, многогранники, частично упорядоченные множества или конечные геометрии. Со стороны алгебры, кроме теории групп и теории представлений, часто используются решётки и коммутативная алгебра. Журнал «Journal of Algebraic Combinatorics[англ.]», выпускаемый издательством Springer-Verlag, является интернациональным журналом для статей из этой области.
Кольцо симметрических функций[англ.] является своеобразным пределом колец симметрических многочленов от n переменных при n, стремящемся к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой связи между симметрическими многочленами могут быть выражены без привязки к числу переменных (но элементы кольца не являются ни многочленами, ни функциями). Кроме всего прочего, это кольцо играет важную роль в теории представлений симметрических групп[англ.].
Схема отношений[англ.] — это набор бинарных отношений, удовлетворяющих определённым условиям совместимости. Схемы отношений дают единообразный подход ко многим разделам, например, комбинаторным схемам и теории кодирования[1][2]. В алгебре схемы отношений обобщают группы, а теория схем отношений обобщает теорию характеров линейных представлений групп[3][4][5].
Сильно регулярный граф определяется следующим образом. Пусть G = (V,E) — регулярный граф с v вершинами и степенью k. Говорят, что G сильно регулярен, если существуют целые числа λ и μ, такие, что: