Анализ функций многих переменных

---

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы ${\displaystyle y=x^{2}}$, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет пределом число A при стремлении переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, соответственно, к ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, если для каждого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется такое число ${\displaystyle \delta >0}$, что ${\displaystyle |f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon }$, то есть ${\displaystyle |x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta }$.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$, если предельное значение этой функции в точке ${\displaystyle A}$ существует и равно частному значению ${\displaystyle f(A)}$.

---