«Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae) — первый крупный труд 24-летнего немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, опубликованный в Лейпциге в сентябре 1801 года. Эта монография (более 600 страниц) стала ключевым этапом в развитии теории чисел; она содержала как обстоятельное изложение результатов предшественников (Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр и другие), так и собственные глубокие результаты Гаусса. Среди последних особенную важность представляли[1]:
Работы Гаусса по «высшей арифметике» (так он называл теорию чисел) предопределили развитие этого раздела математики более чем на столетие. Б. Н. Делоне расценивает данный труд как «умственный подвиг» молодого учёного, имеющий мало себе равных в мировой науке[2].
Древнегреческие математики разработали несколько тем, относящихся к теории чисел. Они дошли до нас в VII—IX книгах «Начал» Евклида (III век до н. э.) и включали важнейшие понятия теории делимости: деление нацело, деление с остатком, делитель, кратное, простое число, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.
Далее развитие теории чисел возобновилось только спустя два тысячелетия. Автором новых идей стал Пьер Ферма (XVII век). В числе прочих, он открыл неизвестное древним свойство делимости (малая теорема Ферма), имеющее фундаментальный характер. Исследования Ферма были продолжены и углублены Эйлером, который основал теорию квадратичных и других степенных вычетов, открыл «тождество Эйлера». Несколько крупных открытий сделал Лагранж, а Лежандр опубликовал монографию «Опыт теории чисел» (1798), первое в истории обстоятельное изложение данного раздела математики. К концу XVIII века был достигнут прогресс в изучении непрерывных дробей, решении различных типов уравнений в целых числах (Валлис, Эйлер, Лагранж), было положено начало исследованию распределения простых чисел (Лежандр).
Гаусс начал работу над своей книгой ещё в 20-летнем возрасте (1797). Из-за неспешности работы местной типографии работа над книгой растянулась на 4 года; кроме того, по правилу, которому он был верен всю жизнь, Гаусс стремился публиковать только завершённые исследования, пригодные для непосредственного практического применения. В отличие от Лежандра, Гаусс предложил не просто перечень теорем, но систематическое изложение теории на основе единых идей и принципов. Все рассмотренные проблемы доведены до уровня алгоритма, книга содержит множество численных примеров, таблиц и пояснений[3] [4].
Книга состоит из посвящения и семи разделов, разделённых на параграфы, имеющие сквозную нумерацию. В посвящении Гаусс выражает благодарность своему покровителю Карлу Вильгельму Фердинанду, герцогу Брауншвейгскому (из русского перевода 1959 года посвящение изъято).