Бесконечное произведение

---

В математике для последовательности чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ бесконечное произведение ^[1]

определяется как предел частичных произведений ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=1}$. Следовательно, логарифм ${\displaystyle \ln a_{n}}$ определён для всех ${\displaystyle n}$, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ это конечное число членов, получим равенство:

---