В математике для последовательности чисел бесконечное произведение [1]
определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.
Если все числа положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.
Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство . Следовательно, логарифм определён для всех , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности это конечное число членов, получим равенство: