Булево кольцо

---

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, в котором ${\displaystyle x^{2}=x}$ для всех ${\displaystyle x\in R}$^[1][2][3].

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры ${\displaystyle (B,\land ,\lor ,\lnot )}$ введением сложения и умножения следующим образом:

В частности, булеан некоторого множества ${\displaystyle X}$ образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ ${\displaystyle \oplus }$, а для умножения — знаки решёточной нижней грани (${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \cap }$, ${\displaystyle \sqcap }$).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей ${\displaystyle (R,+,\cdot ,1)}$ однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

В каждом булевом кольце ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ выполнено ${\displaystyle x+x=0}$ как следствие идемпотентности относительно умножения:

и так как ${\displaystyle (R,+)}$ в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент ${\displaystyle x+x}$ из обеих частей этого уравнения.

---