Вектор Лапласа — Рунге — Ленца
В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются[1]; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей[2].
Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.
Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода[3], ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.
В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса всегда движется по кругу[4][5][6]. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере [7]. По этой математической аналогии сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве[8].
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз[9]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике[10]. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется . Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ .
