Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

---

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней ${\displaystyle k>2}$ уравнение ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}$ не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle a,b,c}$.

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для ${\displaystyle k=5}$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера^[1]:

Для ${\displaystyle k=4}$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.^[2] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

Однако для ${\displaystyle k=6}$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

---