Глобальное поле

---

Аксиоматическая характеризация таких полей через теорию показателей была дана Эмилем Артином и Джорджом Воплесом в 1940-м.^[1]

Поле алгебраических чисел ${\displaystyle F}$ является конечным расширением (и, следовательно, алгебраическим расширением) полем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Таким образом, ${\displaystyle F}$ — это поле, которое содержит ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, и имеет конечную размерность как векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Поле функций на многообразии — это множество всех рациональных функций на этом многообразии. На алгебраической кривой (то есть на одномерном многообразии ${\displaystyle V}$) над конечным полем мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве ${\displaystyle U}$ определена как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце ${\displaystyle U}$, причём мы считаем, что любые две такие функции эквивалентны, если они совпадают на пересечении их открытых аффинных множеств. Это технически определяет рациональные функции на ${\displaystyle V}$ как поле отношений аффинных координатных колец любых аффинных подмножеств, поскольку всё множество всех таких подмножеств плотно.

Существует ряд формальных сходств между двумя типами полей. Независимо от типа поля все его пополнения являются локально компактными полями (см. Локальное поле). Каждое поле любого типа может быть реализовано как поле отношений дедекиндова кольца, в котором каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае существует «формула произведения» для ненулевых элементов ${\displaystyle x}$:

Аналогия между двумя видами полей была сильной движущей силой в алгебраической теории чисел. Идея аналогии между полями алгебраических чисел и римановой поверхностью восходит к Дедекинду и Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия, выраженная идеей глобального поля, в которой аспект римановой поверхности как алгебраической кривой, отображенной на кривые, определенные над конечным полем, была создана в 1930-х годах, что привело к гипотезе Римана для кривых над конечными полями, обоснованные Вейлем в 1940 году. Терминология может быть связана с Вейлем, который написал свою «Basic Number Theory» (1967) частично для разработки аналогии.

---