Алгебраическая теория чисел

---

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида ${\displaystyle z+a_{i}y}$. Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени ${\displaystyle n}$, то к нему нельзя подойти ближе чем на ${\displaystyle Q^{-n}}$, приближаясь дробями вида ${\displaystyle P/Q}$, где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — целые взаимно простые числа^[1].

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими^[1].

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп^[en] и многое другое.^{[источник не указан 3573 дня]}

---