Целое алгебраическое число

---

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо ${\displaystyle \Omega }$. Очевидно, ${\displaystyle \Omega }$ является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть ${\displaystyle u}$ — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$, порождённое добавлением ${\displaystyle u}$ к кольцу обычных целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Оно образовано всевозможными значениями ${\displaystyle f(u)}$, где ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число ${\displaystyle u}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$ — конечнопорождённая абелева группа.

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ имеют место 2 разложения:

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

---