Конечнопорождённая абелева группа

---

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа ${\displaystyle (G,+)}$, для которой существует конечный набор ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in G}$, такой что ${\displaystyle \forall x\in G}$ существует представление:

где ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ и числа по модулю ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации^[⇨], других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q} }$, то достаточно было бы взять натуральное число ${\displaystyle w}$, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить ${\displaystyle 1/w}$, не порождаемое системой ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$.

---