Группа треугольника
В математике группа треугольника — это группа, которая может быть представлена геометрически при помощи последовательных отражений относительно сторон треугольника. Треугольником может служить обычный евклидов треугольник, треугольник на сфере или гиперболический треугольник. Любая группа треугольника является группой симметрии паркета конгруэнтных треугольников в двумерном пространстве, на сфере или на плоскости Лобачевского (см. также статью об гиперболической плоскости).
Пусть l, m, n — целые числа, большие либо равные 2. Группа треугольника Δ(l,m,n) является группой движений евклидового пространства, двумерной сферы, вещественной проективной плоскости или гиперболической плоскости, порождённой отражениями относительно сторон треугольника с углами π/l, π/m and π/n (измеряемые в радианах). Произведение отражений относительно двух смежных сторон является вращением на угол, равный удвоенному углу между этими сторонами, 2π/l, 2π/m и 2π/n. Таким образом, если отражения обозначить буквами a, b и c, а углы между сторонами в циклическом порядке, как указано выше, имеют место следующие соотношения:
Существует теорема, что все другие соотношения между a, b, c являются следствием этих соотношений и что Δ(l, m, n) является дискретной группой движений соответствующего пространства. Эта группа треугольника является группой отражений, допускающей задание
Если заданы любые натуральные числа l, m, n > 1, в точности одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π/l, π/m, π/n) и пространство замощено отражениями этого треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по Формула Гаусса — Бонне: пространство евклидово, если сумма углов в точности равна π, сферическое, если превышает π и гиперболическое, если строго меньше π. Более того, любые два треугольника с заданными углами конгруэнтны. Каждая группа треугольника определяет замощение, которое обычно раскрашивается в два цвета, так что любые два соседних элемента мозаики имеют разные цвета.
Группа треугольника является бесконечной группой симметрии некоторого паркета (или мозаики) евклидовой плоскости треугольниками, углы которых в сумме дают π (или 180°). С точностью до перестановок, тройка (l, m, n) является одной из троек (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Соответствующие группы треугольников являются представителями группы рисунков обоев.