Дискретная группа

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки (то есть для любого элемента из G имеется окрестность, которая содержит только этот элемент). Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой^[1]. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа $\mathbb {Z}$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел $\mathbb {R}$ (со стандартной метрической топологией), а вот рациональные числа $\mathbb {Q}$ не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Любая группа может быть снабжена дискретной топологией. Поскольку любое отображение из дискретного пространства непрерывно, топологические гомоморфизмы между дискретным группами являются в точности гомоморфизмами между лежащими в основе группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Поэтому дискретные группы могут быть отождествлены с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.

Имеется несколько случаев, когда топологическая группа или группа Ли успешно снабжена «неестественной» дискретной топологией. Это случается, например, в теории компактификации Бора и в теории когомологий групп^[англ.] групп Ли.

Дискретная группа изометрий — это группа таких изометрий, что для любой точки метрического пространства множество образов точки при изометриях является дискретным множеством. Дискретная группа симметрии — это группа симметрии, являющаяся дискретной группой изометрий.

Поскольку топологические группы однородны, нужно рассмотреть лишь отдельную точку, чтобы определить, является ли топологическая групп дискретной. В частности, топологическая группа дискретна тогда и только тогда, когда синглетон, содержащий тождественный элемент является открытым множеством.

Дискретная группа является тем же самым, что и группа Ли нулевой размерности (в несчётных дискретных группах не выполняется вторая аксиома счётности, так что авторы, требующие от группы Ли удовлетворения этих требований, не считают их группами Ли). Единичная компонента^[англ.] дискретной группы — это просто тривиальная подгруппа, в то время как группа компонентов^[англ.] изоморфна самой группе.