Зависимый тип
Зависимый тип (англ. dependent type) в информатике и логике — тип, который зависит от некоторого значения. Зависимые типы играют ключевую роль в интуиционистской теории типов и построении функциональных языков программирования таких как ATS, Agda, Epigram[англ.] и Idris.
К примеру, тип, описывающий n-кортежи действительных чисел, является зависимым, так как он «зависит» от величины n.
Решение о равенстве зависимых типов в программе может потребовать вычислений. Если в зависимых типах допущено использование произвольных значений, то решение о равенстве типов может включать в себя проверку равенства результата работы двух произвольных программ. Таким образом, проверка типа становится неразрешимой задачей.
Изоморфизм Карри — Ховарда позволяет строить типы для выражения сколь угодно сложных математических свойств. Если предоставлено конструктивное доказательство того, что тип «заселён» (то есть, существует хотя бы одно значение этого типа), компилятор сможет проверить это доказательство и превратить его в исполняемый код, вычисляющий значение. Наличие проверки доказательств делает зависимо-типизированные языки схожими с программным обеспечением автоматизации доказательств (например, интерактивный доказатель теорем Coq).
Хенк Барендрегт разработал лямбда-куб в качестве средства классификации систем типов по трём осям. Каждый из восьми углов кубической диаграммы соответствует системе типов. В наиболее бедной вершине куба находится просто типизированное лямбда-исчисление, а в наиболее богатой — исчисление конструкций. Трём осям куба соответствуют три различных дополнения к просто типизированному лямбда-исчислению: дополнение зависимых типов, дополнение полиморфизма и дополнение конструкторов типов высшего порядка.
Очень упрощённо зависимый тип можно представить как тип индексированного семейства множеств. Более формально, для типа (где — вселенная типов), можно определить семейство типов , сопоставляющее каждому терму тип , что записывается как . Функция, чья область значений варьируется в зависимости от её аргумента, называется зависимой функцией. Тип этой функции называется зависимым произведением типов, пи-типом или просто зависимым типом. Зависимый тип записывается для данного случая как
