Изоморфизм групп

---

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Если заданы две группы (G, ∗) и (H, ${\displaystyle \circ }$).Изоморфизм групп из (G, ∗) в (H, ${\displaystyle \circ }$) — это биективный гомоморфизм групп из G в H.

Другими словами, изоморфизм групп — это биекция ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$, такая, что для любых u и v из G выполняется

Для некоторых групп можно доказать изоморфизм, исходя из аксиомы выбора, но такое доказательство не показывает, каким образом сконструировать конкретный изоморфизм. Примеры:

Если (G, ∗) является бесконечной циклической группой, то (G, ∗) изоморфна целым числам (по сложению). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (по сложению) является единственной бесконечной циклической группой.

Все конечные циклические группы заданного порядка изоморфны ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$.

---