Инвариант Казимира

---

Инвариант Казимира (оператор Казимира) — примечательный элемент центра универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли. Назван по имени голландского физика Хендрика Казимира. Примером является квадрат оператора момента импульса, который является инвариантом Казимира трёхмерной группы вращений. Операторы Казимира группы Пуанкаре имеют глубокий физический смысл, так как с их помощью определяются понятия массы и спина элементарных частиц^[1].

Положим, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — ${\displaystyle n}$-мерная полупростая алгебра Ли. Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ — любой базис ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, а ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$ — двойственный базис, построенный по фиксированной инвариантной билинейной форме (например, форме Киллинга) на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Элемент Казимира ${\displaystyle \Omega }$ — это элемент универсальной обёртывающей алгебры, определяемый формулой

Несмотря на то, что определение элемента Казимира относится к конкретному выбору базиса в алгебре Ли, легко показать, что полученный элемент ${\displaystyle \Omega }$ не зависит от этого выбора. Более того, инвариантность билинейной формы, использованная в определении, подразумевает, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, и, следовательно, лежит в центре универсальной обёртывающей алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Любому представлению ${\displaystyle \rho }$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ на векторном пространстве V, возможно бесконечномерном, соответствует инвариант Казимира ${\displaystyle \rho (\Omega )}$, линейный оператор на V, задаваемый формулой

---