ККС и КАС алгебры

---

ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: ^[1]бозонов и фермионов, соответственно.^[2].

Пусть ${\displaystyle V}$ - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами ${\displaystyle V}$, в которой выполняются соотношения

для любых ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, ${\displaystyle V}$ снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой^[англ.] ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ унитальная *-алгебра, порожденная элементами ${\displaystyle V}$, в которой выполняются соотношения

для всех ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть ${\displaystyle H}$ - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. В теории операторных алгебр алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами ${\displaystyle \{W(f):f\in H\}}$ обладающими свойствами

---