Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение ориентации пространства и вращения объектов в этом пространстве.
В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избегают проблемы, известной как складывание рамок: при тангаже 90° крен и курс — одно и то же движение.
В сравнении с матрицами поворота они не страдают от накопления ошибок (любой ненулевой кватернион превращается в кватернион вращения простым нормированием), позволяют анимировать поворот кратчайшим путём без побочных эффектов вроде «конфетного фантика», и могут быть более эффективными.
Кватернионы нашли своё применение в компьютерной графике, робототехнике, навигации, молекулярной динамике.
Кватернионы единичной нормы, согласно Гамильтону называемые также версорами (англ. versors), предоставляют алгебраический способ представления вращения в трёх измерениях. Соответствие между вращениями и кватернионами в первую очередь может быть осознано через само пространство вращения — группу SO(3).
Любое вращение в трёхмерном пространстве — это вращение на определённый угол вокруг определённой оси. Если угол равен нулю, то выбор оси не имеет значения; таким образом, вращения на угол 0° — это точка в пространстве вращения (тождественное вращение). Для крошечного (но ненулевого) угла каждое возможное вращение на этот угол — это маленькая сфера, окружающая тождественное вращение, где каждая точка на этой сфере представляет собой ось, указывающую в определённом направлении (можно сравнить с небесной сферой). Чем больше угол вращения, тем дальше вращение от тождественного вращения; о таких вращениях можно думать как о концентрических сферах с увеличивающимся радиусом. Таким образом, вблизи тождественного вращения абстрактное пространство вращений выглядит как обычное трёхмерное пространство (которое также можно представить как центральную точку, окружённую концентрическими сферами). При увеличении угла до 360° вращения вокруг различных осей перестают расходиться и начинают становиться похожими друг на друга, становясь равными тождественному вращению, когда угол достигает 360°.