Когомологии де Рама

---

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама.${\displaystyle k}$-мерная группа когомологий де Рама многообразия ${\displaystyle M}$ обычно обозначается ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$.

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ с внешним дифференциалом ${\displaystyle d\,^{k}}$ в качестве дифференциала.

Здесь ${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$ — пространство гладких функций на ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ — пространство 1-форм, то есть ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ — пространство ${\displaystyle k}$-форм. Заметим, что ${\displaystyle d^{k+1}d^{k}=0}$.${\displaystyle k}$-мерная группа когомологий ${\displaystyle H^{k}}$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в ${\displaystyle k}$-м члене и определяется как

---