Компактификация

---

Формально компактификация пространства ${\displaystyle X}$ определяется как пара ${\displaystyle (Y,\;f)}$, где ${\displaystyle Y}$ компактно,${\displaystyle f:X\to Y}$ вложениетакое, что ${\displaystyle f(X)}$ плотно в ${\displaystyle Y}$.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ и открытыми множествами в ${\displaystyle Y}$ считаются все открытые множества ${\displaystyle X}$, а также множества вида ${\displaystyle O\cup \{\infty \}}$, где ${\displaystyle O\subseteq X}$ имеет замкнутое и компактное (в ${\displaystyle X}$) дополнение. ${\displaystyle f}$ берётся как естественное вложение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle (Y,\;f)}$ тогда компактификация, причём ${\displaystyle Y}$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ хаусдорфово и локально компактно.

---