Конформно-евклидова модель

---

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна^[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы.^[2]Метрика в конформно-евклидовой модели приводится также в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей ${\displaystyle (a,\;b,\;b')}$, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ${\displaystyle ds}$ плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — оси абсцисс и ординат, соответственно^[3].

---