Метод Крамера

---

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)^[1].

Для системы ${\displaystyle n}$ линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы ${\displaystyle \Delta }$, отличным от нуля, решение записывается в виде

(${\displaystyle i}$-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что ${\displaystyle \Delta }$ отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы ${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}$ и ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$, либо набор ${\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}$ состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

---