Метризуемое пространство

---

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (П. С. Урысон и А. Н. Тихонов)

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ найдется окрестность ${\displaystyle U_{x}}$ этой точки такая, что число элементов базы ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, пересекающих одновременно ${\displaystyle U_{x}}$ и дополнение к ${\displaystyle O_{x}}$, конечно (соответственно, если множество элементов ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ таких что ${\displaystyle \Omega \ni x}$, ${\displaystyle \Omega \not \subset O_{x}}$ конечно).

---